Toán 12 Lăng Trụ ( Khó ! )

[Lê Đại Thắng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'.
Khoảng cách từ C đến BB' là 2a .Khoảng cách từ A đến BB' là a. Khoảng cách từ A đến CC' là a căn 3
Hình chiếu của A lên A'B'C' là trung điểm M của B'C'.
Biết A'M là 2a/ căn 3. Tính thể tích khối lăng trụ .
------------------
Help me !!!

 

[tieutukeke]

M là điểm nào vậy bạn? Trung điểm của B'C' à?
Từ A lần lượt kẻ AE và AF vuông góc BB' và CC' =>AE=a, AF= a.căn3
=>AA' vuông góc (AEF) =>EF vuông góc BB' và CC' =>độ dài EF là k/c từ B đến CC' =>EF=2a
Dễ dàng nhận ra độ dài AE, AF và EF là 1 bộ 3 pitago =>tam giác AEF vuông tại A
Gọi N là trung điểm BC =>AN=A'M=2a/căn3 và MN//BB' theo t/c lăng trụ
Gọi MN cắt EF tại H =>H là trung điểm EF (tính chất đường trung bình hình thang)
=>AH=EH=FH=EF/2=a (tính chất trung tuyến tam giác vuông)
MN//BB'//AA' =>MN vuông góc (AEF) =>MN vuông góc AH
=>trong tam giác vuông MAN, có AH là đường cao (lý do MAN vuông tại A do AM vuông góc 2 mp đáy =>AM vuông AN)
1/AH^2=1/AN^2+1/AM^2 =>AM=2a
Lại có MN vuông (AEF) =>H là hình chiếu của N lên (AEF)
BB' và CC' vuông góc (AEF) =>E và F lần lượt là hình chiếu của B và C lên (AEF)
=>góc NAH là góc giữa (AEF) và (ABC) và tam giác AEF là hình chiếu của tam giác ABC lên mp (AEF)
=>(diện tích ABC) = (diện tích AEF)/cosNAH = 1/2.AE.AF/(AH/AN)=1/2.AE.AF.AN/AH=a^2
=>thể tích lăng trụ = AM.(diện tích ABC)=2a.a^2=2.a^3
Kết quả đẹp đấy

 

[Lê Đại Thắng]

M là điểm nào vậy bạn? Trung điểm của B'C' à?
Từ A lần lượt kẻ AE và AF vuông góc BB' và CC' =>AE=a, AF= a.căn3
=>AA' vuông góc (AEF) =>EF vuông góc BB' và CC' =>độ dài EF là k/c từ B đến CC' =>EF=2a
Dễ dàng nhận ra độ dài AE, AF và EF là 1 bộ 3 pitago =>tam giác AEF vuông tại A
Gọi N là trung điểm BC =>AN=A'M=2a/căn3 và MN//BB' theo t/c lăng trụ
Gọi MN cắt EF tại H =>H là trung điểm EF (tính chất đường trung bình hình thang)
=>AH=EH=FH=EF/2=a (tính chất trung tuyến tam giác vuông)
MN//BB'//AA' =>MN vuông góc (AEF) =>MN vuông góc AH
=>trong tam giác vuông MAN, có AH là đường cao (lý do MAN vuông tại A do AM vuông góc 2 mp đáy =>AM vuông AN)
1/AH^2=1/AN^2+1/AM^2 =>AM=2a
Lại có MN vuông (AEF) =>H là hình chiếu của N lên (AEF)
BB' và CC' vuông góc (AEF) =>E và F lần lượt là hình chiếu của B và C lên (AEF)
=>góc NAH là góc giữa (AEF) và (ABC) và tam giác AEF là hình chiếu của tam giác ABC lên mp (AEF)
=>(diện tích ABC) = (diện tích AEF)/cosNAH = 1/2.AE.AF/(AH/AN)=1/2.AE.AF.AN/AH=a^2
=>thể tích lăng trụ = AM.(diện tích ABC)=2a.a^2=2.a^3
Kết quả đẹp đấy

Đoạn cuối diện tích bạn tính sai rồi phỏng ?

 

[tieutukeke]

Đoạn cuối diện tích bạn tính sai rồi phỏng ?

Bài dài quá nên dò lại hơi mệt, để mình dùng cách khác tính thử coi kết quả ra sao:
Ta có V(AA'B'C')=V(ABCC'), mà V(ABCC')=1/2.V(ABB'C'C) =>V(AA'B'C')=1/2.V(ABB'C'C)
V lăng trụ = V(AA'B'C')+V(ABB'C'C)=3/2.V(ABB'C'C)
Trong tam giác vuông AEF, từ A kẻ AI vuông EF =>AI là k/c từ A đến (BB'C'C)
1/AI^2=1/AE^2+1/AF^2 =>AI=a.căn3/2
Diện tích BB'C'C = EF.(BB'+CC')/2=2a.4a.căn3/3=8a^2.căn3/3 (BB'=CC'=MN, MN pitago tam giác vuông AMN ra)
=>V(ABB'C'C)=1/3.AI.V(BB'C'C)=4.a^3/3
=>V lăng trụ = 3/2.V(ABB'C'C)=2a^3
//Ặc, kết quả vẫn như vậy, nói chung mình cũng ko biết nhầm ở đâu nữa, he he, nhưng nói chung hướng giải là như vậy, kết quả phụ thuộc vào tính toán thôi. Bài dài quá nên chắc mình tính sai vài chỗ, loạn não quá =))