Toán 9 Ôn tập

[Trần Thiên Lâm]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[Ann Lee]

View attachment 70182

Bài tập 5:
Xét [tex]x^2=2+\sqrt{2+\sqrt{3}}+6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{(2+\sqrt{2}+\sqrt{3})(6-3\sqrt{2+\sqrt{3}})}\\\Leftrightarrow x^2=8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{3[4-(2+\sqrt{3})]}\\\Leftrightarrow x^2=8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{6-3\sqrt{3}}\\\Leftrightarrow \sqrt{2}x^2=8\sqrt{2}-2\sqrt{4+2\sqrt{3}}-2\sqrt{12-6\sqrt{3}}\\\Leftrightarrow \sqrt{2}x^2=8\sqrt{2}-8\\\Leftrightarrow x^{2}=8-4\sqrt{2}>0\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^4=96-64\sqrt{2}\\ x=\sqrt{8-4\sqrt{2}}(vì:x>0) \end{matrix}\right.[/tex]
Suy ra [tex]S=x^4-16x=96-64\sqrt{2}-16\sqrt{8-4\sqrt{2}}[/tex]
Đến đây chắc thôi ._.
Chị nghĩ là tính [tex]S=x^4-16x^2[/tex] thì sẽ hợp lý hơn vì kết quả khi đó sẽ rất đẹp

Bài 3:
Đặt [tex]\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}}=a(a>0)[/tex] (có $n$ căn)
[tex]\Rightarrow 6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}=a^2\Leftrightarrow \sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}=a^2-6[/tex] (có $n-1$ căn)
Khi đó: [tex]\frac{3-\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}}}{3-\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}}=\frac{3-a}{3-(a^2-6)}=\frac{3-a}{9-a^2}=\frac{1}{3+a}[/tex] (trên tử có $n$ căn, dưới mẫu có $n-1$ căn)
Ta có
[tex]2,4<\sqrt{6}<\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}<\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+3}}}=3[/tex]
[tex] \Leftrightarrow 2,4<a<3\\\Leftrightarrow 5,4<a+3<6\\\Leftrightarrow \frac{1}{6}<\frac{1}{a+3}<\frac{5}{27}(dpcm)[/tex]

Bài 8:
Xét bài toán phụ:
Với [tex]n\in \mathbb{N};n\geq 2[/tex] ta luôn có [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-2[/tex]
Thật vậy:
[tex]\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{2\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})[/tex]
Do đó [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2[(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+...+(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})]=2\sqrt{n}-2(dpcm)[/tex]
Giả sử trong 100 số tự nhiên đã cho, không có 2 số nào bằng nhau.
Không mất tính tổng quát, giả sử:
[TEX]x_1<x_2<...<x_{99}<x_{100}[/TEX]
Suy ra [tex]x_1\geq 1;x_2\geq 2;...;x_{100}\geq 100[/tex]
Thế thì [tex]\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{100}}}\leq \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}(1)[/tex]
Mặt khác, áp dụng bài toán phụ ta được
[TEX]\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}<1+2\sqrt{100}-2=19<20(2)[/TEX]
Từ (1) và (2) suy ra [tex]\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{100}}}<20[/tex] (trái với giả thiết)
Vậy tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau

 

[Trần Thiên Lâm]

Bài tập 5:
Xét [tex]x^2=2+\sqrt{2+\sqrt{3}}+6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{(2+\sqrt{2}+\sqrt{3})(6-3\sqrt{2+\sqrt{3}})}\\\Leftrightarrow x^2=8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{3[4-(2+\sqrt{3})]}\\\Leftrightarrow x^2=8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{6-3\sqrt{3}}\\\Leftrightarrow \sqrt{2}x^2=8\sqrt{2}-2\sqrt{4+2\sqrt{3}}-2\sqrt{12-6\sqrt{3}}\\\Leftrightarrow \sqrt{2}x^2=8\sqrt{2}-8\\\Leftrightarrow x^{2}=8-4\sqrt{2}>0\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^4=96-64\sqrt{2}\\ x=\sqrt{8-4\sqrt{2}}(vì:x>0) \end{matrix}\right.[/tex]
Suy ra [tex]S=x^4-16x=96-64\sqrt{2}-16\sqrt{8-4\sqrt{2}}[/tex]
Đến đây chắc thôi ._.
Chị nghĩ là tính [tex]S=x^4-16x^2[/tex] thì sẽ hợp lý hơn vì kết quả khi đó sẽ rất đẹp

Bài 3:
Đặt [tex]\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}}=a(a>0)[/tex] (có $n$ căn)
[tex]\Rightarrow 6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}=a^2\Leftrightarrow \sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}=a^2-6[/tex] (có $n-1$ căn)
Khi đó: [tex]\frac{3-\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}}}{3-\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}}=\frac{3-a}{3-(a^2-6)}=\frac{3-a}{9-a^2}=\frac{1}{3+a}[/tex] (trên tử có $n$ căn, dưới mẫu có $n-1$ căn)
Ta có
[tex]2,4<\sqrt{6}<\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}<\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+3}}}=3[/tex]
[tex] \Leftrightarrow 2,4<a<3\\\Leftrightarrow 5,4<a+3<6\\\Leftrightarrow \frac{1}{6}<\frac{1}{a+3}<\frac{5}{27}(dpcm)[/tex]

Bài 8:
Xét bài toán phụ:
Với [tex]n\in \mathbb{N};n\geq 2[/tex] ta luôn có [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-2[/tex]
Thật vậy:
[tex]\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{2\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})[/tex]
Do đó [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2[(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+...+(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})]=2\sqrt{n}-2(dpcm)[/tex]
Giả sử trong 100 số tự nhiên đã cho, không có 2 số nào bằng nhau.
Không mất tính tổng quát, giả sử:
[TEX]x_1<x_2<...<x_{99}<x_{100}[/TEX]
Suy ra [tex]x_1\geq 1;x_2\geq 2;...;x_{100}\geq 100[/tex]
Thế thì [tex]\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{100}}}\leq \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}(1)[/tex]
Mặt khác, áp dụng bài toán phụ ta được
[TEX]\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}<1+2\sqrt{100}-2=19<20(2)[/TEX]
Từ (1) và (2) suy ra [tex]\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{100}}}<20[/tex] (trái với giả thiết)
Vậy tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau

Bài 5 em cx đến đó
Bài 3 em hiểu mơ màng
Bài 8 thì mong vị vietsub từ đoạn "Do đó" giúp em, từ đoạn đó em không hiểu chị ns tiếng gì luôn

 

[Ann Lee]

Bài 5 em cx đến đó
Bài 3 em hiểu mơ màng
Bài 8 thì mong vị vietsub từ đoạn "Do đó" giúp em, từ đoạn đó em không hiểu chị ns tiếng gì luôn

Bài 3: Thay đoạn

Bài 3:
Ta có
[tex]2,4<\sqrt{6}<\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}<\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+3}}}=3[/tex]
[tex] \Leftrightarrow 2,4<a<3\\\Leftrightarrow 5,4<a+3<6\\\Leftrightarrow \frac{1}{6}<\frac{1}{a+3}<\frac{5}{27}(dpcm)[/tex]

Bằng cái này:
Ta có [tex]\sqrt{6}<3\\\Rightarrow \sqrt{6+\sqrt{6}}<\sqrt{6+3}=3\\\Rightarrow \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}}<\sqrt{6+3}=3\\...\\\Rightarrow \sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}<3(có:ncăn)\\\Leftrightarrow a<3[/tex]
Suy ra [tex]\frac{1}{3+a}>\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}[/tex]
Dễ thấy [tex]a=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}}>\sqrt{6}>2,4\Rightarrow 5a>12\Leftrightarrow 5a+15>27\Rightarrow \frac{1}{a+3}<\frac{5}{27}(2)[/tex]
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
thì dễ hiểu hơn chưa em?

Bài 8:
Cái chỗ "Do đó" nó vẫn thuộc vào phần bài toán phụ em à @@
Bắt đầu từ chỗ "giả sử..." là sử dụng phương pháp phản chứng rồi em.
Chị thấy đã hướng dẫn chi tiết lắm rồi ý, em không hiểu thì chị đành chịu. .-.

+) Xét bài toán phụ:
Với [tex]n\in \mathbb{N};n\geq 2[/tex] ta luôn có [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-2[/tex]
Thật vậy:
[tex]\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{2\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})[/tex]
Do đó [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2[(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+...+(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})]=2\sqrt{n}-2(dpcm)[/tex]
Vậy bài toán phụ được chứng minh
~~~~
+) Trở lại bài toán chính
Giả sử trong 100 số tự nhiên đã cho, không có 2 số nào bằng nhau.
Không mất tính tổng quát, giả sử:
[TEX]x_1<x_2<...<x_{99}<x_{100}[/TEX]
Suy ra [tex]x_1\geq 1;x_2\geq 2;...;x_{100}\geq 100[/tex]
Thế thì [tex]\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{100}}}\leq \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}(1)[/tex]
Mặt khác, áp dụng bài toán phụ ta được
[TEX]\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}<1+2\sqrt{100}-2=19<20(2)[/TEX]
Từ (1) và (2) suy ra [tex]\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{100}}}<20[/tex] (trái với giả thiết)
Vậy tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau

 

[Trần Thiên Lâm]

Bài 8 đoạn chứng minh bài toán phụ, sao ra 2√n-2 vậy ạ?
Em rút gọn mà không ra
Chị xem bài 2 phần 3 giúp em đề có sai k ạ?

 

[Trần Thiên Lâm]

E xin phép ghi lại đề bài 2
Nhưng e ko gõ công thức đc vì em onl bằng đt
Cmr
Căn của ( 2+căn (3 căn 4 căn 5 ... căn 2000) < 2

 

[Ann Lee]

Bài 8 đoạn chứng minh bài toán phụ, sao ra 2√n-2 vậy ạ?
Em rút gọn mà không ra
Chị xem bài 2 phần 3 giúp em đề có sai k ạ?

[tex]\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2[(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+...+(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})]=2(-\sqrt{1}+\sqrt{n})=2\sqrt{n}-2[/tex]
Như vầy được chưa em :<

E xin phép ghi lại đề bài 2
Nhưng e ko gõ công thức đc vì em onl bằng đt
Cmr
Căn của ( 2+căn (3 căn 4 căn 5 ... căn 2000) < 2

CMR: [tex]\sqrt{2+\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2000}}}}<2[/tex]
sai đề thật em à, VT>2 rồi.

 

[Trần Thiên Lâm]

[tex]\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2[(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+...+(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})]=2(-\sqrt{1}+\sqrt{n})=2\sqrt{n}-2[/tex]
Như vầy được chưa em :<

CMR: [tex]\sqrt{2+\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2000}}}}<2[/tex]
sai đề thật em à, VT>2 rồi.

cx vừa rút gọn xong,giống chj ạ
Em cx thấy bài đó sai đề nên hỏi cho chắc