lại số học nữa

[ms.sun]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Tìm số nguyên tố [TEX]p[/TEX] biết tổng các ước tự nhiên của [TEX]p^4[/TEX] nlà số chính phương

2)chứng minh:[TEX]A=[/TEX][TEX]1+[/TEX][TEX]19^9+[/TEX][TEX]93^{199}+[/TEX][TEX]1993^{1999}[/TEX] không là số chính phương

 

[ms.sun]

1)Tìm số nguyên tố [TEX]p[/TEX] biết tổng các ước tự nhiên của [TEX]p^4[/TEX] nlà số chính phương

2)chứng minh:[TEX]A=[/TEX][TEX]1+[/TEX][TEX]19^9+[/TEX][TEX]93^{199}+[/TEX][TEX]1993^{1999}[/TEX] không là số chính phương

vì [TEX]p[/TEX] là số nguyên tố mà tổng các ước của [TEX]p^4[/TEX] là
[TEX]p^4+p^3+ p^2+p+1[/TEX]
Giả sử tổng các ước của [TEX]p^4[/TEX] là số chính phương thì:
[TEX]p^4+p^3+ p^2+p+1[/TEX]=[TEX]k^2[/TEX]([TEX]k \in\ N[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]p^4+2p^2+1+p^3-p^2+p=k^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](p^2+1)^2[/TEX]+[TEX]p(p^2+1)-[/TEX][TEX]p^2[/TEX]=[TEX]k^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]4(p^2+1)^2+4p(p^2+1)+p^2-5p^2=k^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX][2(p^2+1)+p]^2-[/TEX][TEX]5p^2=4k^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](2p^2+p+2)^2-5p^2=4k^2[/TEX]
Do đó: [TEX]4k^2<(2p^2+p+2)^2[/TEX]
\Rightarrow[TEX]2k<2p^2+p+2[/TEX] (1)
Mà [TEX]4k^2-(2p^2+p)^2[/TEX]
[TEX]=4p^4+4p^3+4p^2+4p+4-4p^4-4p^3-p^2[/TEX]
[TEX]=3p^2+4p+4>0[/TEX] (vì [TEX]p \in\ P[/TEX])
Do đó: [TEX]4k^2>(2p^2+p)^2[/TEX]
\Rightarrow[TEX]2k>2p^2+p[/TEX] (2)
Từ (1) và (2) suy ra : [TEX]2k=2p^2+p+1[/TEX]
Do đó:
[TEX]4k^2=(2p^2+p+1)^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]4p^4+4p^3+4p^2+4p+4=4p^4+4p^3+5p^2+2p+1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]4=p^2-2p+1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](p-1)^2=4[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]p=3 [/TEX] hoặc [TEX]p=-1[/TEX]
Mà [TEX]p \in\ P[/TEX] \Rightarrow[TEX]p=3[/TEX]

 

[ms.sun]

1)Tìm số nguyên tố [TEX]p[/TEX] biết tổng các ước tự nhiên của [TEX]p^4[/TEX] nlà số chính phương

2)chứng minh:[TEX]A=[/TEX][TEX]1+[/TEX][TEX]19^9+[/TEX][TEX]93^{199}+[/TEX][TEX]1993^{1999}[/TEX] không là số chính phương

Giả sử A là số chính phương \Rightarrow[TEX]A=k^2[/TEX]([TEX]k \in\ N)[/TEX]
Ta có[TEX]A \vdots 2[/TEX] \Rightarrow[TEX]k^2 \vdots 2[/TEX]
Mà [TEX]2 \in\ P[/TEX] \Rightarrow[TEX]k^2 \vdots 4[/TEX]
\Rightarrow [TEX]A \vdots 4 [/TEX]
Xét_[TEX]19\equiv -1\pmod{4}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]19^9\equiv-1\pmod{4}[/TEX]

_[TEX]93\equiv1\pmod{4}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]93^{199}\equiv1\pmod{4}[/TEX]

_[TEX]1993\equiv1\pmod{4}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]1993^{1999}\equiv1\pmod{4}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]1+19^9+93^{199}+1993^{1999} \equiv 2\pmod{4}[/TEX]
hay [TEX]A:4 dư 2[/TEX] (2)
từ (1) và(2) suy ra điều phải chứng minh