Lại cần sự giúp đỡ

[toxic123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0, a+b+c=1.CMR
[TEX]\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+ \sqrt[3]{abc} \geq \frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)}[/TEX]

 

[01263812493]

Cho a,b,c>0, a+b+c=1.CMR
[TEX]\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+ \sqrt[3]{abc} \geq \frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)}[/TEX]

Ta có bổ đề khá hay :
[TEX]\blue \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b} \geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}[/TEX]

Bổ đề này mọi người thử chứng minh xem, chỉ Cauchy thoy

Do đó ta có:
[TEX]\blue VT \geq \frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc} =\sqrt[3]{abc}+\frac{1}{9\sqrt[3]{abc}} + \frac{8}{9\sqrt[3]{abc}} \geq \frac{2}{3}+\frac{8}{9.\frac{1}{3}}=\frac{10}{3}[/TEX]

Ta chứng minh:
[TEX]\blue \frac{10}{3} \geq \frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)} \leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2 \rightarrow \ True \rightarrow dpcm[/TEX]