B
bigbang195
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Ta lần lượt xét:
Định lí 1:Tiêu chuẩn chia hết của tam thức [TEX]x^m+x^n+1[/TEX] chia cho [TEX]x^2+x+1[/TEX]):
Tam thức [TEX]x^m+x^n+1[/TEX] chia hết cho [TEX]x^2+x+1[/TEX] khi và chỉ khi [TEX](mn-2) [/TEX]chia hết cho 3
Chứng Minh:
Trước Tiên , ta có biểu diễn :
[TEX]m=3k+r[/TEX]với[TEX]k,r[/TEX] thuộc [TEX]N[/TEX] và [TEX]0\leq r\leq 2[/TEX]
[TEX]n=3l+s[/TEX] với[TEX]l,s[/TEX] thuộc [TEX]N[/TEX] và [TEX]0\leq s \leq 2[/TEX]
Khi đó :
[TEX]x^m+x^n+1={x}^{3k+r}+{x}^{3l+s}+1=({x}^{3k}-1)x^r+({x}^{3l}-1)x^s+x^r+x^s+1[/TEX]
Nhận xét rằng [TEX]({x}^{3k}-1) và ({x}^{3l}-1)[/TEX] đều chia hết cho [TEX]x^3-1[/TEX] do đó chia hết cho [TEX]x^2+x+1[/TEX]
Như vậy, ta thấy [TEX]x^m+x^n+1[/TEX] chia hết cho [TEX]x^2+x+1[/TEX] khi và chỉ khi
[TEX](x^r+x^s+1)[/TEX] chia hết [TEX]x^2+x+1[/TEX] với [TEX]0 \leq r,s \leq 2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]( [TEX]r=2[/TEX] và [TEX]s=1[/TEX] ) hoặc ([TEX]r=1[/TEX] và [TEX]s=2[/TEX]) hay
[TEX]m=3k+2[/TEX] và [TEX]n =3l+1[/TEX] hoặc ([TEX]m=3k+1[/TEX] và [TEX]n=3l+2[/TEX])
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]mn -2 = (3k+2)(3l+1)-2 [/TEX] chia hết cho 3
hoặc [TEX]mn -2 = (3l+2)(3k+1)-2 [/TEX] chia hết cho 3
[TEX](ĐPCM)[/TEX]
Từ hệ quả của định lí 1, chúng ta nhận được ba hệ quả sau :
Hệ quả 1 : ta có [TEX](x^n+x+1)[/TEX] chia hết [TEX](x^2+x+1)[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX](n-2)[/TEX] chia hết cho 3
Hệ quả 2: ta có [TEX](x^n+x^2+1)[/TEX] chia hết [TEX](x^2+x+1)[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX](n-1)[/TEX] chia hết cho 3
Hệ quả 3 : nếu tam thức [TEX](x^m+x^n+1) [/TEX] chia hết [TEX]x^2+x+1[/TEX] thì tam thức [TEX]x^m-x^n+1[/TEX] chia hết [TEX](x^2-x+1)[/TEX] (còn Tiếp):khi (153)::khi (153)::khi (153)::khi (190)::khi (190)::khi (190):
Định lí 1:Tiêu chuẩn chia hết của tam thức [TEX]x^m+x^n+1[/TEX] chia cho [TEX]x^2+x+1[/TEX]):
Tam thức [TEX]x^m+x^n+1[/TEX] chia hết cho [TEX]x^2+x+1[/TEX] khi và chỉ khi [TEX](mn-2) [/TEX]chia hết cho 3
Chứng Minh:
Trước Tiên , ta có biểu diễn :
[TEX]m=3k+r[/TEX]với[TEX]k,r[/TEX] thuộc [TEX]N[/TEX] và [TEX]0\leq r\leq 2[/TEX]
[TEX]n=3l+s[/TEX] với[TEX]l,s[/TEX] thuộc [TEX]N[/TEX] và [TEX]0\leq s \leq 2[/TEX]
Khi đó :
[TEX]x^m+x^n+1={x}^{3k+r}+{x}^{3l+s}+1=({x}^{3k}-1)x^r+({x}^{3l}-1)x^s+x^r+x^s+1[/TEX]
Nhận xét rằng [TEX]({x}^{3k}-1) và ({x}^{3l}-1)[/TEX] đều chia hết cho [TEX]x^3-1[/TEX] do đó chia hết cho [TEX]x^2+x+1[/TEX]
Như vậy, ta thấy [TEX]x^m+x^n+1[/TEX] chia hết cho [TEX]x^2+x+1[/TEX] khi và chỉ khi
[TEX](x^r+x^s+1)[/TEX] chia hết [TEX]x^2+x+1[/TEX] với [TEX]0 \leq r,s \leq 2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]( [TEX]r=2[/TEX] và [TEX]s=1[/TEX] ) hoặc ([TEX]r=1[/TEX] và [TEX]s=2[/TEX]) hay
[TEX]m=3k+2[/TEX] và [TEX]n =3l+1[/TEX] hoặc ([TEX]m=3k+1[/TEX] và [TEX]n=3l+2[/TEX])
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]mn -2 = (3k+2)(3l+1)-2 [/TEX] chia hết cho 3
hoặc [TEX]mn -2 = (3l+2)(3k+1)-2 [/TEX] chia hết cho 3
[TEX](ĐPCM)[/TEX]
Từ hệ quả của định lí 1, chúng ta nhận được ba hệ quả sau :
Hệ quả 1 : ta có [TEX](x^n+x+1)[/TEX] chia hết [TEX](x^2+x+1)[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX](n-2)[/TEX] chia hết cho 3
Hệ quả 2: ta có [TEX](x^n+x^2+1)[/TEX] chia hết [TEX](x^2+x+1)[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX](n-1)[/TEX] chia hết cho 3
Hệ quả 3 : nếu tam thức [TEX](x^m+x^n+1) [/TEX] chia hết [TEX]x^2+x+1[/TEX] thì tam thức [TEX]x^m-x^n+1[/TEX] chia hết [TEX](x^2-x+1)[/TEX] (còn Tiếp):khi (153)::khi (153)::khi (153)::khi (190)::khi (190)::khi (190):
Last edited by a moderator: