Kiểm tra BĐT và cực trị!

[brandnewworld]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho 2 số dương thỏa mãn điều kiện a+b=1. CMR:
a) [TEX]a^2+b^2\geq\frac{1}{2}[/TEX]
b) [TEX]a^4+b^4\geq\frac{1}{8}[/TEX]
2. Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [-1;2] thỏa mãn a+b+c=0
CMR: [TEX]a^2+b^2+c^2 \leq 6.[/TEX]
3. a) Cho x,y dương. CMR:
[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}[/TEX]
b) Trong tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c. CMR:
[TEX]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]
4. CMR với a,b,c>0 thì:
[TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
5. Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. CMR:
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 9[/TEX]
6. Tìm GTNN của biểu thức:
[TEX]A=x(x+1)(x^2+x-4)[/TEX]
7. Tìm GTNN & GTLN của biểu thức
[TEX]B=\frac{3x^2-2x+3}{x^2+1}[/TEX]
8. Tìm GTNN của biểu thức:
C=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|
9. Cho x>0 tmf GTNN của biẻu thức
[TEX]D=\frac{3x^4+16}{x^3}[/TEX]
10. Cho 0<x<2 tìm GTNN của biểu thức:
[TEX]A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}[/TEX]

Tớ đã làm hết rồi, các bạn thấy đề thế nào?

 

[cuncon2395]

1. Cho 2 số dương thỏa mãn điều kiện a+b=1. CMR:
a) [TEX]a^2+b^2\geq\frac{1}{2}[/TEX]
b) [TEX]a^4+b^4\geq\frac{1}{8}[/TEX]
2. Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [-1;2] (nghĩa là [TEX]-1\leqa,b,c\leq2[/TEX]) thỏa mãn a+b+c=0
CMR: [TEX]a^2+b^2+c^2 \leq 6.[/TEX]
3. a) Cho x,y dương. CMR:
[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}[/TEX]
b) Trong tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c. CMR:
[TEX]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]
4. CMR với a,b,c>0 thì:
[TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
5. Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. CMR:
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 9[/TEX]
6. Tìm GTNN của biểu thức:
[TEX]A=x(x+1)(x^2+x-4)[/TEX]
7. Tìm GTNN & GTLN của biểu thức
[TEX]B=\frac{3x^2-2x+3}{x^2+1}[/TEX]
8. Tìm GTNN của biểu thức:
C=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|
9. Cho x>0 tmf GTNN của biẻu thức
[TEX]D=\frac{3x^4+16}{x^3}[/TEX]
10. Cho 0<x<2 tìm GTNN của biểu thức:
[TEX]A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}[/TEX]

Tớ đã làm hết rồi, các bạn thấy đề thế nào?

làm câu dễ trc
1.
a. có a+b=1 [TEX]\Rightarrow (a+b)^2=1[/TEX]
xét hiệu [TEX]a^2+b^2-\frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]= \frac{2a^2+2b^2-1}{2} = \frac{(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)-1}{2}[/TEX]
[TEX]=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2-1}{2}=\frac{(a-b)^2}{2} \geq 0[/TEX]
=> [TEX]a^2+b^2-\frac{1}{2} \geq 0[/TEX]
vậy [TEX]a^2+b^2\geq\frac{1}{2}[/TEX]
b, có a+b=1 => [TEX](a+b)^2=1 \Rightarrow a^2+2ab+b^2=1 (1)[/TEX]
ta có [TEX](a-b)^2 \geq 0 \Rightarrow a^2_2ab+b^2 \geq 0 (2)[/TEX]
cộng (1) với (2)
[TEX]2(a^2+b^2) \geq 1 \Leftrightarrow a^2+b^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX]
bình phương 2 vế
[TEX](a^2+b^2)^2 \geq \frac{1}{4} \Rightarrow a^4+b^4+2b^2a^2 \geq \frac{1}{4} (3)[/TEX]
lại có [TEX](a^-b^2)^2 \geq 0 \Rightarrow a^4-2a^b^2+b^4 \geq 0 (4)[/TEX]
cộng (3) vs (4)
[TEX]2(a^4+b^4) \geq \frac{1}{4} \Rightarrow a^4+b^4 \geq \frac{1}{8} (dpcm)[/TEX]

 

[brandnewworld]

làm câu dễ trc
1.
a. có a+b=1 [TEX]\Rightarrow (a+b)^2=1[/TEX]
xét hiệu [TEX]a^2+b^2-\frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]= \frac{2a^2+2b^2-1}{2} = \frac{(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)-1}{2}[/TEX]
[TEX]=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2-1}{2}=\frac{(a-b)^2}{2} \geq 0[/TEX]
=> [TEX]a^2+b^2-\frac{1}{2} \geq 0[/TEX]
vậy [TEX]a^2+b^2\geq\frac{1}{2}[/TEX]
b, có a+b=1 => [TEX](a+b)^2=1 \Rightarrow a^2+2ab+b^2=1 (1)[/TEX]
ta có [TEX](a-b)^2 \geq 0 \Rightarrow a^2_2ab+b^2 \geq 0 (2)[/TEX]
cộng (1) với (2)
[TEX]2(a^2+b^2) \geq 1 \Leftrightarrow a^2+b^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX]
bình phương 2 vế
[TEX](a^2+b^2)^2 \geq \frac{1}{4} \Rightarrow a^4+b^4+2b^2a^2 \geq \frac{1}{4} (3)[/TEX]
lại có [TEX](a^-b^2)^2 \geq 0 \Rightarrow a^4-2a^b^2+b^4 \geq 0 (4)[/TEX]
cộng (3) vs (4)
[TEX]2(a^4+b^4) \geq \frac{1}{4} \Rightarrow a^4+b^4 \geq \frac{1}{8} (dpcm)[/TEX]

Không cần phải dài như vậy đâu.
a) Sử dụng Bu-nhi-a-xcốp-ki với 2 bộ số (a;b),(1;1). Ta có: [TEX](a^2+b^2)(1^2+1^1) \geq (a+b)^2 = 1 \Leftrightarrow a^2+b^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX]
b) Tương tự chọn Bu-nhi-a-xcốp-ki với 2 bộ [TEX](a^2;b^2),(1;1)[/TEX].

 

[vodichhocmai]

Không cần phải dài như vậy đâu.
a) Sử dụng Bu-nhi-a-xcốp-ki với 2 bộ số (a;b),(1;1). Ta có: [TEX](a^2+b^2)(1^2+1^1) \geq (a+b)^2 = 1 \Leftrightarrow a^2+b^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX]
b) Tương tự chọn Bu-nhi-a-xcốp-ki với 2 bộ [TEX](a^2;b^2),(1;1)[/TEX].

Hai chú học giỏi quá . Là, những bài khó quá :khi (46)::khi (46)::khi (46)::khi (46)::khi (46)::khi (46)::khi (
46)::khi (46):

Xa kiến thức lóp 8 bọn quá

 

[vodichhocmai]

Cho x>0 tmf GTNN của biẻu thức
[TEX]D=\frac{3x^4+16}{x^3}[/TEX]

Giải thử bài nầy nghe mấy chú có gì sai 2 chú đừng bỏ qua :

[TEX]D=\frac{3x^4+16}{x^3}=3x+\frac{16}{x^3}=x+x+x+ \frac{16}{x^3}\ge 4\sqrt[4]{16}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \min_{x>0} D=8[/TEX]

Đẳng thức xảy ra khi : [TEX]x=2[/TEX]

 

[brandnewworld]

Mấy bài này không khó đâu, đều dễ cả, cố làm chút là ra!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[linhlove313]

cơ bản và dễ nhưng có mấy bài phải dùng đạo hàm cảu cấp 3,có đc không

 

[rooney_cool]

5. Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. CMR:
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 9[/TEX]

=> [TEX](\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(x + y +z) \geq 9)[/TEX]
Ta có [TEX](\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(x + y +z) - 9 \geq 0[/TEX]
=> ĐPCM ( dễ quá mà) Quan trọng là bước đầu tiên thôi

 

[cuncon2395]

công nhận là dễ
bài 7.
[TEX]B=\frac{3x^2-2x+3}{x^2+1}[/TEX]
[TEX]B=\frac{4x^2+4-(x^2+2x+1)}{x^2+1}[/TEX]
[TEX]B=\frac{4(x^2+1)-(x+1)^2}{x^2+1}[/TEX]
[TEX]B=4-\frac{(x+1)^2}{x^2+1}\leq4[/TEX]
[TEX]Max B=4 \Leftrightarrow x+1=0 \Leftrightarrow x=-1 [/TEX]

[TEX]B=\frac{3x^2-2x+3}{x^2+1}[/TEX]
[TEX]B=\frac{(x^2-2x+1)+2x^2+2}{x^2+1}[/TEX]
[TEX]B=\frac{(x-1)^2+2(x^2+1)}{x^2+1}[/TEX]
[TEX]B=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}+2 \geq 2[/TEX]
[TEX]min B=2 \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1[/TEX]

 

[vodichhocmai]

cơ bản và dễ nhưng có mấy bài phải dùng đạo hàm cảu cấp 3,có đc không

:M032::M032::M032::M032::M032::M032::M032::M032::M032::M032:Mấy chú nầy giải giỏi quá . Còn có 1 chú sử dụng đạo hàm . Mà đạo hàm là gì vậy ?

 

[brandnewworld]

Đâu cần dùng đạo hàm hay nói cách khác là không thể dùng vì lớp 8 làm gì có cái đó, dùm vài BĐT cơ bản được rồi!

 

[tuananh8]

3. a) Cho x,y dương. CMR:
[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}[/TEX]
b) Trong tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c. CMR:
[TEX]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]

phần a) thì dễ rồi, còn phần b) thì sử dụng BĐT phần a) để giải
lười chẳng chịu làm

 

[brandnewworld]

Câu 3b) Gợi ý: Đặt ẩn phụ:
_ Thế p= [TEX]\frac{a+b+c}{2}[/TEX].
_ Quy đồng mẫu, rút gọn.
Đặt ẩn phụ.

 

[vodichhocmai]

Câu 3b) Gợi ý: Đặt ẩn phụ:
_ Thế p= [TEX]\frac{a+b+c}{2}[/TEX].
_ Quy đồng mẫu, rút gọn.
Đặt ẩn phụ.

@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)

 

[vodichhocmai]

b) Trong tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c. CMR:
[TEX]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]

Áp dụng bộ đề bé tí :

[TEX]\left{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\\x,y>0[/TEX]

[TEX]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge \frac{4}{c}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge \frac{4}{a}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge \frac{4}{b}[/TEX]

Công vế theo vế ta ra cái gì đó :

 

[vodichhocmai]

Cho mấy chú trang nầy để lấy themmmm tí kiến thức

http://nguyenhuutho.net/diendan//index.php?showtopic=4257&st=0

 

[storm5906]

6. Tìm GTNN của biểu thức:
[TEX]A=x(x+1)(x^2+x-4)[/TEX]

[TEX]A=x(x + 1)(x^2 + x - 4) = (x^2 + x)(x^2 + x - 4)[/TEX]

Đặt [TEX]x^2 + x - 2= t[/TEX], ta có:

[TEX]A = (t + 2)(t - 2) = t^2 - 4 \geq -4[/TEX]

[TEX] \text{MinA=-4 khi }t^2 = 0 \Leftrightarrow x^2 + x = 0 \Leftrightarrow \left[{x=0}\\{x=-1}[/TEX]

 

[huynh_trung]

Áp dụng bộ đề bé tí :

[TEX]\left{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\\x,y>0[/TEX]

[TEX]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge \frac{4}{c}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge \frac{4}{a}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge \frac{4}{b}[/TEX]

Công vế theo vế ta ra cái gì đó :

cái bài này dể thui mà tui có cách # dể hiểu hơn nề:dùng co-si: cho [TEX]\frac{1}{2} (a +b)[/TEX]rùi làm như ở trên

 

[huynh_trung]

phần a) thì dễ rồi, còn phần b) thì sử dụng BĐT phần a) để giải
lười chẳng chịu làm

câu b chắt làm theo cách cậu tui thấy hok ổn
câu a thì:
ta có [TEX](x - y)^2 \geq 0 \Leftrightarrow x^2 - 2xy + y^2 \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2 + 2xy +y^2 \geq 4xy[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x + y)^2 \geq 4xy[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x + y}{xy} \geq \frac{4}{x + y}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{x} +\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

cái bài này dể thui mà tui có cách # dể hiểu hơn nề:dùng co-si: cho [TEX]\frac{1}{2} (a +b)[/TEX]rùi làm như ở trên

Kiến thức bao la , đời ta nhỏ hẹp :Mloa_loa::Mloa_loa::Mloa_loa::Mloa_loa::Mloa_loa::Mloa_loa: