Kì thi tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên hà tĩnh năm học 2014-2015

[san1201]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM HỌC 2014-2015​

 

[forum_]

2/

a/ Bình phương đc:

$\sqrt[]{3+x} = x^2 -3$

Đặt $\sqrt[]{3+x} =t$ \geq 0 => $t^2 = x+3$ (1)

và thay vào đề bài thì $t=x^2-3$ (2)

Từ (1), (2) trừ vế theo vế......

b/ Nhân liên hợp hoặc bình phương cũng đc

 

[angleofdarkness]

1/

Vì $x_1$ là nghiệm của pt $X^2-x-1=0$ nên $x_1^2-1=x_1$

Suy ra $\sqrt{33x_1+25}=\sqrt{9x_1+24x_1+25}=\sqrt{9x_1^2+24x+16}=|3x_1+4|$

Tương tự suy ra ta cần c/m đẳng thức sau: $3x_1-|3x_1+4|=3x_2-|3x_2+4|$

Mặt khác thẹo Vi-et suy ra $x_1$ và $x_2$ trái dấu ta gỉa sử $x_1$ \geq 0 \geq $x_2$

\Rightarrow VT = -4.

- Nếu $\dfrac{-4}{3}$ \leq $x_2$ \leq 0 thì VT = VP = -4

- Nếu $x$ \leq $\dfrac{-4}{3}$ thì theo viet $x_1+x_2=1$ \Rightarrow $x_1$ \geq $\dfrac{7}{3}$

Như vậy $|x_1|>1;|x_2|>1$ suy ra $|x_1x_2| \neq$ 1 trái gt $x_1x_2=-1$

Vậy ta có đpcm

 

[angleofdarkness]

2/

b/ Nhân liên hợp hoặc bình phương cũng đc

Cách 2:

$\left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt{xy}+3 & & \\ \sqrt{x^{2}+7}+\sqrt{y^{2}+7}=8& & \end{matrix}\right.$

(1) \Rightarrow $(x+y)^{2}=xy+6\sqrt{xy}+9 $ \Leftrightarrow $x^{2}+y^{2}=-xy+6\sqrt{xy}+9$

Với (2): $(\sqrt{x^{2}+7}+\sqrt{y^{2}+7})^{2}$ \leq $2(x^{2}+y^{2}+14)=-2(\sqrt{xy}-3)^{2}+64$ \leq 64.

\Rightarrow $\sqrt{x^{2}+7}+\sqrt{y^{2}+7}$ \leq 8.

Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}=3 & & \\ x=y& & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow x = y = 3.

 

[angleofdarkness]

3/

b/

Áp dụng BĐT Bunhia ta có: $P^{2}=\left ( \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \right )^{2}$ \leq 6 \Rightarrow P\leq $\sqrt{6}$

Vậy GTLN của P là $P=\sqrt{6}$.

Dấu = khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$.

Mặt khác $P^{2}=2(a+b+c)+2\sqrt{(a+b)(b+c)}+2\sqrt{(b+c)(c+a)}+2\sqrt{(c+a)(a+b)}$

Ta lại có $\sqrt{(a+b)(b+c)}=\sqrt{ab+bc+ca+b^{2}}$ \geq b, tương tự được $P^{2}$ \geq 4 \Rightarrow P \geq 2

Vậy GTNN của P là 2.

Dấu = khi (a, b, c) là hoán vị (0, 0, 1)

 

[angleofdarkness]

3/

b/

Cách 2:

Do 0 \leq $\sqrt{a+b}$ \leq 1 \Rightarrow $\sqrt{a+b}$ \geq $a+b.$

Tương tự \Rightarrow $\sum \sqrt{a+b}$ \geq $\sum (a+b)$

\Rightarrow VT \geq $2(a+b+c)=2$

 

[angleofdarkness]

4/

a/

CI cắt $AI_1$ tại T.

Ta có $\angle ACT+\angle CAT=90^{\circ}$ \Rightarrow $\angle CTA=90^{\circ}$

\Rightarrow $CT \bot AT$ hay $CT \bot AI_{1}$

Mà $\Delta CAE$ cân \Rightarrow $CA \bot AE$ nên A, $I_1$ ,E thẳng hàng.

b/

Ta c/m $\Delta AI_{2}E$ vuông cân tại $I_2$ và $\Delta AI_{1}F$ vuông cân tại $I_1$

\Rightarrow Tứ giác $FEI_1I_2$ nội tiếp đt đk EF.

Tương tự tứ giác $I_2EI_1I$ nội tiếp nên 5 điểm $I_2$ ,E, $I_1$ ,I,F cùng thuộc đt đk EF.

\Rightarrow $\Delta MAB=\Delta MFB \left ( CGC \right )\rightarrow \angle MFB=90^{\circ}\rightarrow DPCM$

P/S: Bạn tự vẽ hình nha!

 

[angleofdarkness]

5/

Theo quy tắc như đề bài thì từ hai số ban đầu là $ \displaystyle 1 \ ; \ 5 $ sinh ra số $ \displaystyle 1+5+ \left( 1 \cdot 5\right)=11 $ .

Từ hai số phân biệt $ \displaystyle x \ ; \ y $ thì tạo thành số mới $ \displaystyle z=x+y+xy $, ta thấy
$$ z+1 = \left( x+1 \right) \cdot \left( y+1 \right) $$
Ta luôn có
$$ \left( x+1 \right) \cdot \left( y+1 \right) \ \vdots \ 24 $$
với $ \displaystyle \left( x,y \right) \neq \{ \left(1,5 \right) \ ; \ \left( 5,1 \right) \} $.

Tức là số mới $ \displaystyle z $ được tạo thành trên bảng theo quy tắc trên đều thỏa
$$ z+1 \ \vdots \ 24 \ ; \ z \neq \{ 1,5,11 \} $$
Cả hai số $ \displaystyle 2015 \ ; \ 2015^{2014} $ đều không thỏa điều trên .

Tức là không thể tạo ra chúng bằng quy tắc như trong đề bài.

 

[san1201]

Bạn làm nốt câu 3a được ko ạ!
.................................................

 

[angleofdarkness]

5/

Cách 2:

Bằng quy tắc z = x + y + xy nên các số được ghi trên bảng là: 1, 5, 11, 23, 71, …

Dễ dàng nhận thấy các số viết trên đều chia cho 3 dư 2 (Tất nhiên loại trừ số 1).

Mà $2015^{2014}$ chia cho 3 dư 1. Do đó $2015^{2014}$ không thuộc dãy số trên

Mặt khác z + 1 = (x + 1)(y + 1). Như vậy nếu cộng thêm 1 vào các số thuộc dãy trên thì ta được dãy các số: 2, 6, 12, 24, 72, … và các số thuộc dãy mới này có dạng $2^{n}.3^{m}$ (n, m là các số tự nhiên).

Do 2015 + 1 = 2016 = 256. 63 =24. 32. 7 nên không thể viết được số 2015

Vậy ta không thể ghi được các số 2015 và $2015^{2014}$

 

[angleofdarkness]

3/

a/

$\left\{\begin{matrix} x+y=xy+z & \\ x^{2}+y^{2}=z^{2} & \end{matrix}\right.$

Từ (1) \Rightarrow xy = x + y - z.

Từ (2) \Rightarrow $(x+y)^2-2xy=z^2$

Thay xy vào ta có $(x+y)^2-2(x + y - z)=z^2$ \Leftrightarrow $(x+y-1)^2=(z-1)^2$

Đến đây xét 2 T.h là đc.