Kì thi HSG huyện

[flames.of.desire]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đường tròn (O;R) có 2 đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Lấy điểm I bất kì trên đoạn OC (I không trùng O và C). Vẽ dường tròn (I;IA), đương tròn này cắt AD và AC lần lượt tại M và N (khác điểm A).
a. Chứng minh rằng 3 điểm I, M, N thẳng hàng.
b. Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại K. Chứng minh rằng DM.DA= DK.DO
c. Tính tổng MA + NA theo R

 

[oggyz2]

http://nu1.upanh.com/b4.s34.d2/5c3b3ae23f3f56164f3ff61d50c5f76a_52872041.untitled.bmp
Giải:
a) Vì $\angle MAN=90^{\circ }$ và $IM=IA=IN$ nên $\Delta MAN$ vuông tại $A$.
Từ đó suy ra ba điểm $I,M,N$ thẳng hàng.
b) $MK$ song song với $AC$ nên $\widehat{KMD}=90^{\circ}$
$=>$ $\Delta KMD \sim \Delta AOD$ ( $\widehat{KDA}$ chung và $\widehat{KMD}=\widehat{AOD}=90^{\circ}$ )
$=>$ $\frac{MD}{OD}=\frac{AD}{DK}=1$ ( vì $\widehat{ADO}=45^{\circ}$ cái này hiển nhiên)
$=>$ $DM.DA= DK.DO$.
c) $\Delta MKI=\Delta NCI$ vì $IM=IN$, $\widehat{CIN}=\widehat{MIK}$,$\widehat{KMI}= \widehat{INC}$ do $MK$ song song với $AC$ .
$=>$ $MK=CN$ mà $MK=MD$ nên $CN=MD$
$AC=AD=\sqrt{2}R$ (dùng Pi-ta-go).
Ta có : $AM+AN=AM+CN+AC=AM+MK+AC=AC+AD=2\sqrt{2}R$