Lần sau bạn nên đánh ra thi hơn
Trong mf Oxyz viết pt [TEX]mf (\alpha )[/TEX] đi qua điểm[TEX] M (1;2;3)[/TEX] cắt trục Ox ,Oy ,Oz lần lượt tại A ,B,C sao cho[TEX] \frac{1}{OA^2} +\frac{1}{OB^2} +\frac{1}{OC^2} [/TEX] đạt GTNN
bài giải
[TEX](\alpha ) \bigcap Ox =A ( a;0;0)\\(\alpha ) \bigcap Oy =B (0;b;0)\\(\alpha ) \bigcap Oz=C(0,0,c)[/TEX]
[TEX]PT (\alpha) :[/TEX]
[TEX]\frac{x}{a} + \frac{y}{b} +\frac{z}{c} =1\\M(1;2;3) \in (\alpha ) \Leftrightarrow \ \frac{1}{a} + \frac{2}{b} +\frac{3}{c} =1[/TEX]
Dễ dàng c/m được [TEX] \frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2} +\frac{1}{OB^2} +\frac{1}{OC^2}[/TEX] ; Trong đó H là hình chiếu vuông góc của O trên[TEX] ( \alpha )[/TEX]
Ta đi tìm [TEX](\alpha )[/TEX] sao cho [TEX]OH max -hay- d (O/ (\alpha) ) max[/TEX]
[TEX]d(O/(\alpha ) )= \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}[/TEX]
Áp dụng BDT Bunhiacopxki :
[TEX] (\frac{1}{a} + \frac{2}{b} +\frac{3}{c})^2 \le (\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}) (1+4+9) \Leftrightarrow \ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2}\ge \frac{1}{14} \Leftrightarrow \ d(O/(\alpha)) \le\sqrt{14} [/TEX]
dấu [TEX]" ="[/TEX] xảy ra [TEX]\Leftrightarrow \ a=14 ; b=7;c=\frac{14}{3}[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
