Nếu bạn thích tọa độ hóa thì đã có bạn làm ở đây:
https://diendan.hocmai.vn/threads/khoang-cach.787987/#post-3902556
Còn nếu thích hình học thuần túy thì mình thích (lựa chọn của) bạn đấy
Cách 1: Kẻ song song SC
Lấy $N$ là trung điểm $BC$. $d(DM, SC) = d(C, (DMN))$
Hạ $MH \perp (ABCD)$ thì $H$ là trung điểm $AB$.
Gọi $I = CH \cap DN$ thì để chuyển khoảng cách từ $C$ về khoảng cách từ $H$, ta tính $\dfrac{IC}{IH}$ hay tính $IC$ và $IH$
$IC$ tính bằng đường cao trong $\triangle{DCN}$ (à bạn biết tính chất $CH \perp DN$ nhỉ?), có $IC = \dfrac{a\sqrt{5}}5$
$CH = \sqrt{CB^2 + BH^2} = \dfrac{a\sqrt{5}}2$, suy ra $IH = CH - IC = \dfrac{3a\sqrt{5}}{10}$
Sẵn tính luôn khoảng cách từ $H$ đến $(DMN)$ luôn: Hạ $HK \perp IM$ thì $d(H, (DMN)) = HK = \ldots = \dfrac{a\sqrt{6}}4$ (đường cao trong $\triangle{MHI}$, nhớ $MH = \dfrac12 SA = \dfrac{3a}2$)
Tới đây: $d(DM, SC) = d(C, (DMN)) = \dfrac{CI}{HI} \cdot d(H, (DMN)) = \dfrac{2}3 \cdot \dfrac{a\sqrt{6}}4 = \dfrac{a\sqrt{6}}6$
Cách 2: Kẻ song song DM
Lấy $E$ đối xứng $B$ qua $D$ thì $d(DM, SC) = d(D, (SCE))$
Giờ ta cần chuyển khoảng cách từ $D$ về khoảng cách từ $A$ nên ta tính tỉ số...
$AD$ cắt $CE$ tại $I$ thì theo tính chất đường trung bình, $DI = \dfrac12 BC = \dfrac12 AD = \dfrac12 a$
Giờ tính khoảng cách từ $A$ nữa là xong: Hạ $AH \perp CE$ thì $\dfrac{CD}{IC} = \sin I = \dfrac{AH}{AI}$, suy ra $AH = \dfrac{3a\sqrt{5}}5$
Cuối cùng: hạ $AK \perp SH$ thì $d(A, (SCD)) = AK = \ldots = \dfrac{a\sqrt{6}}2$ (đường cao...)
Suy ra $d(DM, SC) = d(D, (SCE)) = \dfrac{DI}{AI} \cdot d(A, (SCE)) = \dfrac13 \cdot \dfrac{a\sqrt{6}}2 = \dfrac{a\sqrt{6}}6$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
