Toán 9 Tìm GTNN của A = x^2 + 3y^2

[andrew3629]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho:
x+my=3(1)
mx+y=2m+1(2)
Tìm GTNN của
A=[tex]x^2+3y^2[/tex]
B=[tex]x^4+y^4[/tex]

 

[Ngô Nam Khánh]

Ta có [tex]x^2\geq 0[/tex] (*1)
[tex]y^2\geq 0 \Rightarrow 3y^2 \geq 0[/tex] (*2)
Từ (*1)và(*2)
Suy ra A [tex]x^2+3y^2\geq 0[/tex]
Vậy GTNN của A là 0 khi x=y=0

 

[7 1 2 5]

Ta có [tex]x^2\geq 0[/tex] (*1)
[tex]y^2\geq 0 \Rightarrow 3y^2 \geq 0[/tex] (*2)
Từ (*1)và(*2)
Suy ra A [tex]x^2+3y^2\geq 0[/tex]
Vậy GTNN của A là 0 khi x=y=0

x = y = 0 không thỏa mãn phương trình 1 bạn ạ....

 

[Takudo]

Ta có [tex]x^2\geq 0[/tex] (*1)
[tex]y^2\geq 0 \Rightarrow 3y^2 \geq 0[/tex] (*2)
Từ (*1)và(*2)
Suy ra A [tex]x^2+3y^2\geq 0[/tex]
Vậy GTNN của A là 0 khi x=y=0

Bạn làm thế thì khỏi cần cho cái giả thiết
Bỏ giả thiết thì làm cái gì hả bạn?

 

[Sơn Nguyên 05]

Cho:
x+my=3(1)
mx+y=2m+1(2)
Tìm GTNN của
A=[tex]x^2+3y^2[/tex]
B=[tex]x^4+y^4[/tex]

Giải hệ phương trình tìm x, y theo m.
Thay x, y vừa tìm được vào A và B để tìm GTNN theo m.
Thay trở lại tìm x, y nhé!

 

[ankhongu]

Cho:
x+my=3(1)
mx+y=2m+1(2)
Tìm GTNN của
A=[tex]x^2+3y^2[/tex]
B=[tex]x^4+y^4[/tex]

Sai thì sorry nha
Trừ (1) cho (2) xong biến đổi ta có :
[tex]x(1 - m) - y(1 - m) = 2(1 - m) \Leftrightarrow (1 - m)(x - y) = 2(1 - m)[/tex]
- Xét m khác 1 :
PT <-> [tex]x - y = 2 \Leftrightarrow x = y + 2[/tex]
Thay vào ta có :
[tex]A = (y + 2)^{2} + 3y^{2} = 4y^{2} + 4y + 4 = 4(y^{2} + y + 1) = 4[(y + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}] = 4(y + \frac{1}{2})^{2} + 3 \geq 3[/tex]
Dấu "=" <-> [tex]y = \frac{-1}{2}, x = \frac{3}{2}[/tex]
[tex]B = (y + 2)^{4} + y^{4} = 2y^{4} + 8y^{3} + 24y^{2} + 32y + 16 = 2(y^{4} + 4y^{3} + 12y^{2} + 16y + 8)[/tex]
(Cái này tìm được min không ? Mọi người giúp nhé )
- Xét m = 1
--> x + y = 3
Thay tương tự (Chưa thử nhưng mong là được) rồi so sáng hai trường hợp

Sai thiếu gì mong mọi người giúp đỡ và sửa lỗi

 

[andrew3629]

Giải hệ phương trình tìm x, y theo m.
Thay x, y vừa tìm được vào A và B để tìm GTNN theo m.
Thay trở lại tìm x, y nhé!

Làm vậy thì dài và nghe có vẻ không logic lắm ạ

 

[iceghost]

Sai thì sorry nha
Trừ (1) cho (2) xong biến đổi ta có :
[tex]x(1 - m) - y(1 - m) = 2(1 - m) \Leftrightarrow (1 - m)(x - y) = 2(1 - m)[/tex]
- Xét m khác 1 :
PT <-> [tex]x - y = 2 \Leftrightarrow x = y + 2[/tex]
Thay vào ta có :
[tex]A = (y + 2)^{2} + 3y^{2} = 4y^{2} + 4y + 4 = 4(y^{2} + y + 1) = 4[(y + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}] = 4(y + \frac{1}{2})^{2} + 3 \geq 3[/tex]
Dấu "=" <-> [tex]y = \frac{-1}{2}, x = \frac{3}{2}[/tex]
[tex]B = (y + 2)^{4} + y^{4} = 2y^{4} + 8y^{3} + 24y^{2} + 32y + 16 = 2(y^{4} + 4y^{3} + 12y^{2} + 16y + 8)[/tex]
(Cái này tìm được min không ? Mọi người giúp nhé )
- Xét m = 1
--> x + y = 3
Thay tương tự (Chưa thử nhưng mong là được) rồi so sáng hai trường hợp

Sai thiếu gì mong mọi người giúp đỡ và sửa lỗi

Từ chỗ $x - y = 2$ hoặc $x + y = 3$, mình làm câu B nhé

Hẳn là ai ở đây cũng biết bất đẳng thức $(a - b)^2 \geqslant 0$ hay $2(a^2 + b^2) \geqslant (a+b)^2$ nhỉ

Nếu $x - y = 2$:
Áp dụng vào bài này: $x^4 + (-y)^4 \geqslant \dfrac{(x^2 + (-y)^2)^2}2 \geqslant \dfrac{(\dfrac{(x+(-y))^2}2)^2}2 = \ldots$

Nếu $x + y = 3$:
Tương tự thì $x^4 + y^4 \geqslant \ldots \geqslant \dfrac{(\dfrac{(x + y)^2}2)^2}2 = \ldots$

Bạn tự thay số nhé