khó

[sagacious]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c, là 3 cạnh của tam giác . chứng minh rằng
a) ab+bc+ca \leq a² + b² + c² < 2(ab+bc+ca)
b)a³+ b³ +c³ + 2abc < a²(c+b) + b²(c+a) + c²(a+b)

 

[chonhoi110]

a, * Chứng minh $ab+bc+ca \le a^2+b^2+c^2$ (1)

Ta có: $ (a+b)^2 \ge 0 \leftrightarrow a^2+b^2 \ge 2ab$

Tương tự: $ b^2+c^2 \ge 2bc ; a^2+c^2 \ge 2ac$

Cộng các vế lại ta được $2ab+2bc+2ca \le 2a^2+2b^2+2c^2 \leftrightarrow ab+bc+ca \le a^2+b^2+c^2$

* Chứng minh $a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab+bc+ca)$ (2)

Nhân 2 vế của $a < b+c$ với số dương a, ta được $a^2 < ab+ac$

Tương tự $b^2<ba+bc ; c^2 < ca+cb$. Cộng từng vế các bđt trên ta được $a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab+bc+ca)$

Từ (1) và (2) $\rightarrow$ đpcm