Khảo sát HSG toán 9 lần 1

[n.hoa_1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đây là đề thi rất nóng hổi của huyện tớ hôm qua, tớ đăng cho các bạn cùng xem
1)
Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thoả mãn đồng thời các điều kiện :
x + y + z > 11 và 8x + 9y + 10z = 100
(câu đó cũng đơn giản để gỡ điểm)

2) Cho a,b,c là các số nguyên tố thoả mãn:
20abc<30(a+b+c)< 21abc

Tìm a,b,c

3)
Cho a,b,c là các số dương thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le \frac{1}{2}$

—————————

 

[nguyenbahiep1]

3)..........................................................................................................................................................................................................

 

[vuive_yeudoi]

3)
Cho a,b,c là các số dương thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le \frac{1}{2}$

[laTEX]VT \le \frac{9}{3(a^2+b^2+c^2+3)} [/laTEX]

Ý là bảo với các số thực dương $\displaystyle a,b,c $ thỏa $\displaystyle abc=1$ thì :
$$ \frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le \frac{9}{3(a^2+b^2+c^2+3)} $$
hả ?

Bất đẳng thức đó sai .

Một phản ví dụ chẳng hạn như $ \displaystyle a=1 \ ; \ b=2 \ ; \ c=\frac{1}{2} $ thì
$$ \frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3} =\frac{57}{140} > \frac{4}{11}= \frac{9}{3(a^2+b^2+c^2+3)} $$

Bây giờ để giải thì dùng bất đẳng thức AM-GM kiểu vầy
$$ a^2+2b^2+3=a^2+b^2+b^2+1+2 \ge 2ab+2b+2=2(ab+b+1) $$
Suy ra
$$ \sum \frac{1}{a^2+2b^2+3} \le \sum \frac{1}{2(ab+b+1)}=\frac{1}{2} $$
Chú ý
$$ \frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}=1 $$

 

[vipboycodon]

Áp dụng bdt schwarz ta có :
$VT = \dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3} \ge \dfrac{(1+1+1)^2}{a^2+2b^2+3+b^2+2c^2+3+c^2+2a^2+3} = \dfrac{9}{3(a^2+b^2+c^2+3)} = \dfrac{3}{a^2+b^2+c^2+3}$
Ta lại có : $a^2+b^2+c^2 \ge 3\sqrt[3]{(abc)^2} = 3$ (vì $abc = 1$)
=> $VT \le \dfrac{3}{3+3} = \dfrac{1}{2}$ (đpcm)


@braga: ngược dấu r thánh

 

[vuive_yeudoi]

1)
Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thoả mãn đồng thời các điều kiện :
x + y + z > 11 và 8x + 9y + 10z = 100


—————————

Do các số $\displaystyle x,y,z $ nguyên dương nên
$$ x+y+z > 11 \ \text{suy ra} \ x+y+z \ge 12 $$
Có
$$ 100 = 8(x+y+z)+(y+2z) \ge 96+(y+2z) $$
Suy ra
$$ 4 \ge y+2z \ge 3 $$
Tức là
$$ y+2z \in \{ 3;4 \} $$
Theo đề bài thì
$$ 8x+9y+10z=100 $$
Số $\displaystyle y$ là số chẵn .

Tức là $ \displaystyle y+2z$ cũng là số chẵn .

Suy ra
$$ y+2z=4 $$
Hay
$$\begin{cases}
y=2 \\
z=1
\end{cases} $$
Thế ngược lại vào
$$8x+9y+10z=100$$
tìm được $ \displaystyle x=9 $.

Vậy
$$ (x,y,z)=(9,2,1) $$
thỏa điều kiện đề bài .

2) Cho a,b,c là các số nguyên tố thoả mãn:
20abc<30(a+b+c)< 21abc

Tìm a,b,c

Do vai trò $ \displaystyle a,b,c $ như nhau nên không mất tính tổng quát có thể giả sử
$$ a\ge b \ge c \ge 2 $$
Suy ra
$$ \frac{1}{bc} \ge \frac{1}{ca} \ge \frac{1}{ab} $$
Từ điều kiện đề bài có được
$$ \frac{2}{3} < \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} < \frac{7}{10} $$
Có
$$\frac{2}{3} < \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \le \frac{3}{bc} $$
Suy ra
$$ bc \le 4 $$
Do $ \displaystyle b,c $ là các số nguyên tố nên suy ra
$$ b=c=2 $$
Lúc này chỉ cần tìm số nguyên tố $\displaystyle a$ sao cho
$$ \frac{20}{9} < a < \frac{12}{5} $$
Không có số nguyên tố $\displaystyle a$ nào thỏa điều trên hết .

Tức là không có $\displaystyle a,b,c$ nguyên tố nào thỏa điều kiện đề bài .

 

[n.hoa_1999]

Câu1 đúng rồi nhưng câu 2 hình như không phải là không có gtri nào TM đâu anh ạ !

 

[vuive_yeudoi]

Câu1 đúng rồi nhưng câu 2 không phải là không có gtri nào TM đâu bạn ơi!

Đề em viết chưa chắc đã đúng .

Lời giải em có chưa chắc đã chính xác .

Lý luận anh nêu ra cũng chưa hẳn đã chính xác .

Học toán thì mọi thứ đều rõ ràng .

Đề em viết đó , lý luận anh nêu ra đó , để bác bỏ thì em chỉ ra chỗ nào anh bị sai ra cho mọi người thấy để sửa đổi sẽ tốt hơn là bắt người khác tin vào mấy điều mơ hồ , ko rõ ràng như vậy .

 

[c2nghiahoalgbg]

Bạn ơi cho mình hỏi, đề này sao không có hình à?
Bạn có thể đăng cả đề lên ko?