Toán 12 Khảo sát hàm số

[sooya04]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng phương trình [tex]x^{3}+3(m+1)x^{2}+3(m^{2}+1)x+m^{3}+1=0[/tex] luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị thực của m.
Mong các bạn giải giúp mình.
Cảm ơn các bạn.

 

[Tiến Phùng]

Xét [TEX]y'=0[/TEX] vô nghiệm hoặc có nghiệm kép <=> [TEX]m \leq 0[/TEX], hàm ĐB trên R nên hiển nhiên chỉ có nghiệm duy nhất
Xét [TEX]y'>0<=>m>0[/TEX], lúc này hàm có 2 cực trị, đơn giản thì nếu 2 cực trị đều nằm trên trục Ox, thì hiển nhiên y sẽ có nghiệm duy nhất
PT đt qua 2 cực trị là:[TEX]y=-4mx-(m^2+m)[/TEX]
Để chứng minh 2 cực trị nằm trên Ox thì :
[tex]\left\{\begin{matrix} y_1+y_2>0\\ y_1y_2 \geq 0 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} -4m(x_1+x_2)-2(m^2+m)>0\\ 16m^2x_1x_2+(m^2+m)^2+4m(m^2+m)(x_1+x_2)>0 \end{matrix}\right.[/tex]

Thay Vi-ét vào, và kết hợp với m>0 nữa là dễ thấy 2 cái đó đều dương