Cho ham so ax^3+bx+c voi a khac 0
tren do thi ham so lay 3 diem A,B,C thang hang.3 tiep tuyen tai A,B,C lan luot cat do thi ham so tai 3 diem A',B',C'. CMR: A',B',C' thang hang
Lưu ý nhớ viết bài có dấu. Nếu không bài viết sẽ bị xoá.
Tổng quát luôn này :
Đề: Cho (c) [TEX]y=ax^3+bx^2+cx+d (a\not= 0)[/TEX]
Trên (C) lấy 3 điểm A,B ,C thẳng hàng .Các tiếp tuyến tại A,B,C cát (c) tại A', B';, C'
CMR: A',B',C' thẳng hàng.
Giải
Bổ đề: điều kiện cần và đủ để A,B,C thuộc (C) thẳng hàng là [TEX]x_A+x_B+x_C=\frac{-b}{a}[/TEX]
Chứng minh
* Thuận
A,B,C thẳng hàng và thuộc (c) .Gỉa sử pt đường thẳng qua A,B,C là : y=kx+m
\Rightarrow Phương trình hoành đọ của A,B,C là nghiệm của pt
[TEX]ax^3+bx^2+cx+d=kx+m \\ \Leftrightarrow ax^3+bx^2+(c-k)x+d-m=0[/TEX]
Áp dụng Viet có
[TEX]x_A+x_B+x_C=\frac{-b}{a}[/TEX]
*Đảo
A,B,C thuộc (C) ,[TEX] x_A+x_B+x_C=\frac{-b}{a}[/TEX]
Gọi pt AC là [TEX]y=\alpha x+\beta[/TEX]
Gọi giao điểm thứ 3 của AC và (C) là B'
Có A,B',C có hoành độ là nghiệm của pt:
[TEX]ax^3+bx^2+cx+d=\alpha x+\beta \\ \Leftrightarrow ax^3+bx^2+(c-\alpha)x+d-\beta=0[/TEX]
Áp dụng Viet có
[TEX]x_A+x_{B'}+x_C=\frac{-b}{a}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow B'\equiv B \Rightarrow A,B,C [/TEX]thẳng hàng.
Vậy, bổ đề đã được chứng minh
Bài làm:
Gọi pt tiếp tuyến tại A là[TEX] y=kx+m (\Delta)[/TEX]
Có tọa độ của A và A' thỏa mãn pt:
[TEX]ax^3+bx^2+cx+d=kx+m \\ \Leftrightarrow ax^3+bx^2+(c-k)x+d-m=0[/TEX]
Áp dụng Viet có:
[TEX] x_A+x_A+x_{A'}=\frac{-b}{a} \\ \Leftrightarrow x_{A'}=\frac{-b}{a}-2x_A[/TEX]
Tương tự có
[TEX]x_{B'}=\frac{-b}{a}-2x_B\\x_{C'}=\frac{-b}{a}-2x_C[/TEX]
Cộng lại có:
[TEX]x_{A'}+x_{B'}+x_{C'}=\frac{-3b}{a}-2(x_A+x_B+x_C)[/TEX]
Theo bổ đề đã có [TEX]x_A+x_B+x_C=\frac{-b}{a}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x_{A'}+x_{B'}+x_{C'} =\frac{-3b}{a}+\frac{2b}{a}=\frac{-b}{a}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX]Theo bổ đề có A',B',C' thẳng hàng (đpcm)
ok bạn nhé
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn