Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo [imath]n[/imath].
Thật vậy, với [imath]n=1[/imath] ta thấy hiển nhiên. Giả sử điều phải chứng minh đúng với [imath]n \geq 1[/imath].
Khi đó [imath](a+b)^n= \sum _{k=0} ^{n} C_n^k a^{n-k}b^k[/imath]
[imath]\Rightarrow (a+b)^{n+1}=( \sum _{k=0} ^{n} C_n^k a^{n-k}b^k)(a+b)[/imath]
[imath]= \sum _{k=0} ^{n} C_n^k a^{n+1-k}b^k+ \sum _{k=0} ^{n} C_n^k a^{n-k}b^{k+1}[/imath]
[imath]= \sum _{k=0} ^{n} C_n^k a^{n+1-k}b^k + \sum _{k=1} ^{n+1} C_n^{k-1} a^{n+1-k}b^k[/imath]
[imath]= \sum _{k=1} ^{n} (C_n^k+C_n^{k-1}) a^{n-k}b^k+a^{n+1}+b^{n+1}[/imath]
Nhận thấy [imath]C_n^k+C_n^{k-1}=C_{n+1}^k[/imath] và [imath]C_{n+1}^0=C_{n+1}^{n+1}=1[/imath] nên [imath]\sum _{k=1} ^{n} (C_n^k+C_n^{k-1}) a^{n-k}b^k+a^{n+1}+b^{n+1}=\sum _{k=0} ^{n+1} C_{n+1}^k a^{n+1-k}b^k[/imath]
[imath]\Rightarrow (a+b)^{n+1}=\sum _{k=0} ^{n+1} C_{n+1}^k a^{n+1-k}b^k[/imath]
Tức điều phải chứng minh đúng với [imath]n+1[/imath].
Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Tổ hợp xác suất
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
