Khai triển nhị thức Niwtơn

[nhokdangyeu01]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^2$ trong khai triển nhị thức Niwtơn của $(\sqrt[]{x}+\frac{1}{2\sqrt[4]{x}})^n$ biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn 2$C^0_n$+$\frac{2^2}{2}C^1_n$+$\frac{2^3}{3}C^2_n$+...+$\frac{2^(n+1)}{n+1}C^n_n$=$\frac{6560}{n+1}$

 

[kirisaki]

$ \frac{2^{k+1}}{k+1} C_n^k = \frac{2^{k+1}}{k+1} . \frac{n!}{ k! \left( n-k \right) ! } = \frac{2^{k+1}}{n+1} C_{n+1}^{k+1} \\ \Rightarrow VT = \frac{1}{n+1} . \left( 2. C_{n+1}^1 + 2^2 C_{n+1}^2 + ... + 2^{n+1} C_{n+1}^{n+1} \right) = \frac{6560}{n+1} \\ \Rightarrow 2. C_{n+1}^1 + 2^2 C_{n+1}^2 + ... + 2^{n+1} C_{n+1}^{n+1} = 6560 \\ \Rightarrow \left( 2+1 \right) ^{n+1} -1 = 6560 \\ \Rightarrow n+1=8 \Rightarrow n=7 \\ \\ \left( \sqrt{x} + \frac{1}{ 2 \sqrt[4]{x}} \right) ^n = \left( \sqrt{x} + 2 \frac{1}{ \sqrt[4]{x}} \right) ^7 \\ \text{SHTQ:} C_7^k . \frac{1}{2^k} . \left( \sqrt[4]{x} \right) ^{14-3k} \\ \Rightarrow 14-2k=8 \Rightarrow k = 3 \Rightarrow \text{He so:} \frac{35}{8}$