- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
I. Khai triển Newton
1. khai triển Newton
với a, b là các số thực, n là số nguyên dương thì ta có:
[tex](a+b)^n=C_n^0.a^n+C_n^1.a^{n-1}.b+...+C_n^{n-1}.a.b^{n-1}+C_n^n.b^n[/tex]
2. tính chất
- khai triển [tex](a+b)^n[/tex] có n+1 số hạng
- tổng số mũ của mỗi số hạng đều bằng n
- số hạng tổng quát của khai triển là [tex]T_{k+1}=C_n^k.a^{n-k}.b^k[/tex]
II. một số bài toán liên quan đến nhị thức thường gặp
1. tìm số hạng của 1 khai triển
- ví dụ 1: tìm số hạng chứa [tex]x^3[/tex] của khai triển [tex](3x-4)^5[/tex]
số hạng tổng quát của khai triển là: [tex]T_{k+1}=C_5^k.(3x)^{5-k}.(-4)^k=C_5^k.3^{5-k}.(-4)^k.x^{5-k}[/tex]
hệ số chứa [tex]x^3=>k=2[/tex].
nên hệ số của khai triển là: [tex]C_5^3.3^3.4^2=4320[/tex]
vậy, hệ số của số hạng chứa [tex]x^3[/tex] là 4320.
- ví dụ 2: tìm hệ số của số hạng chứa [tex]x^7[/tex] trong khai triển [tex]P(x)=(1+x^2)(1-x)^8[/tex]
ta có, [tex]P(x)=(1-x)^8+x^2(1-x)^8[/tex] .
ta chỉ cần tìm số hạng chứa [tex]x^8[/tex] và [tex]x^6[/tex] của biểu thức [tex](1-x)^8[/tex] là đã ra kết quả.
[tex]\left\{\begin{matrix} C_8^8.(1)^0.(-1)^8=1\\ C_8^6.(1)^2.(-1)^6=28 \end{matrix}\right.[/tex]
do đó, hệ số chứa [tex]x^8[/tex] của khai triển là 29.
2. tìm số hạng có hệ số lớn nhất
- ví dụ 3: khai triển đa thức [tex]P(x)=(1+2x)^{12}=a_0+a_1x+...+a_{12}.x^{12}[/tex]
tìm hệ số lớn nhất của các số hạng trong khai triển
ta gọi [tex]a_k[/tex] là hệ số lớn nhất trong khai triển suy ra [tex]a_k>a_{k-1}[/tex]
ta có hệ: [tex]\left\{\begin{matrix} 2^k.C_{12}^k\geq 2^{k-1}.C_{12}^{k-1}\\ 2^k.C_{12}^k\geq 2^{k+1}.C_{12}^{k+1} \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} \frac{2}{k}\geq \frac{1}{12-k+1}\\ \frac{1}{12-k}\geq \frac{2}{k+1} \end{matrix}\right. =>k=8[/tex]
do đó số hạng chứa [tex]x^8[/tex] có hệ số lớn nhất và bằng [tex]C_{12}^8.2^8=126720[/tex]
3. bài toán kết hợp kiến thức đạo hàm và nguyên hàm
- ví dụ 4: tính tổng sau: [tex]P=1.C_{2018}^1+2.C_{2018}^2+3.C_{2018}^3+...+2017.C_{2018}^{Ơ2017}+2018.C_{2018}^{2018}[/tex]
ta xét khai triển [tex](1+x)^{2018}=1+x.C_{2018}^1+x^2.C_{2018}^2+...+x^{2018}.C_{2018}^{2018}[/tex]
lấy đạo hàm 2 vế, ta được:
[tex]2018.(1+x)^{2017}=1.C_{2018}^1+2x.C_{2018}^2+...+2108.x^{2017}.C_{2018}^{2018}[/tex]
thay giá trị x=1 vào, ta suy ra
[tex]P=2018.2^{2017}[/tex]
1. khai triển Newton
với a, b là các số thực, n là số nguyên dương thì ta có:
[tex](a+b)^n=C_n^0.a^n+C_n^1.a^{n-1}.b+...+C_n^{n-1}.a.b^{n-1}+C_n^n.b^n[/tex]
2. tính chất
- khai triển [tex](a+b)^n[/tex] có n+1 số hạng
- tổng số mũ của mỗi số hạng đều bằng n
- số hạng tổng quát của khai triển là [tex]T_{k+1}=C_n^k.a^{n-k}.b^k[/tex]
II. một số bài toán liên quan đến nhị thức thường gặp
1. tìm số hạng của 1 khai triển
- ví dụ 1: tìm số hạng chứa [tex]x^3[/tex] của khai triển [tex](3x-4)^5[/tex]
số hạng tổng quát của khai triển là: [tex]T_{k+1}=C_5^k.(3x)^{5-k}.(-4)^k=C_5^k.3^{5-k}.(-4)^k.x^{5-k}[/tex]
hệ số chứa [tex]x^3=>k=2[/tex].
nên hệ số của khai triển là: [tex]C_5^3.3^3.4^2=4320[/tex]
vậy, hệ số của số hạng chứa [tex]x^3[/tex] là 4320.
- ví dụ 2: tìm hệ số của số hạng chứa [tex]x^7[/tex] trong khai triển [tex]P(x)=(1+x^2)(1-x)^8[/tex]
ta có, [tex]P(x)=(1-x)^8+x^2(1-x)^8[/tex] .
ta chỉ cần tìm số hạng chứa [tex]x^8[/tex] và [tex]x^6[/tex] của biểu thức [tex](1-x)^8[/tex] là đã ra kết quả.
[tex]\left\{\begin{matrix} C_8^8.(1)^0.(-1)^8=1\\ C_8^6.(1)^2.(-1)^6=28 \end{matrix}\right.[/tex]
do đó, hệ số chứa [tex]x^8[/tex] của khai triển là 29.
2. tìm số hạng có hệ số lớn nhất
- ví dụ 3: khai triển đa thức [tex]P(x)=(1+2x)^{12}=a_0+a_1x+...+a_{12}.x^{12}[/tex]
tìm hệ số lớn nhất của các số hạng trong khai triển
ta gọi [tex]a_k[/tex] là hệ số lớn nhất trong khai triển suy ra [tex]a_k>a_{k-1}[/tex]
ta có hệ: [tex]\left\{\begin{matrix} 2^k.C_{12}^k\geq 2^{k-1}.C_{12}^{k-1}\\ 2^k.C_{12}^k\geq 2^{k+1}.C_{12}^{k+1} \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} \frac{2}{k}\geq \frac{1}{12-k+1}\\ \frac{1}{12-k}\geq \frac{2}{k+1} \end{matrix}\right. =>k=8[/tex]
do đó số hạng chứa [tex]x^8[/tex] có hệ số lớn nhất và bằng [tex]C_{12}^8.2^8=126720[/tex]
3. bài toán kết hợp kiến thức đạo hàm và nguyên hàm
- ví dụ 4: tính tổng sau: [tex]P=1.C_{2018}^1+2.C_{2018}^2+3.C_{2018}^3+...+2017.C_{2018}^{Ơ2017}+2018.C_{2018}^{2018}[/tex]
ta xét khai triển [tex](1+x)^{2018}=1+x.C_{2018}^1+x^2.C_{2018}^2+...+x^{2018}.C_{2018}^{2018}[/tex]
lấy đạo hàm 2 vế, ta được:
[tex]2018.(1+x)^{2017}=1.C_{2018}^1+2x.C_{2018}^2+...+2108.x^{2017}.C_{2018}^{2018}[/tex]
thay giá trị x=1 vào, ta suy ra
[tex]P=2018.2^{2017}[/tex]
