HSG7 - 1 bài toán về số nguyên tố!

[hoanghontimtimtim]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho m, n là số tự nhiên và p là số nguyên tố thỏa mãn: [tex]\frac{p}{m-1} = \frac{m + n}{p}[/tex]. Chứng minh rằng: p bình phương = n + 2
Mình mới tham gia diễn đàn nên "ngố tầu" lắm, chẳng biết gõ "p bình phương" xin mọi người chỉ giúp!

 

[harrypham]

Đề bài. Cho [TEX]m, n[/TEX] là số tự nhiên và [TEX]p[/TEX] là số nguyên tố thỏa mãn [TEX]\frac{p}{m-1}= \frac{m+n}{p}[/TEX]. Chứng minh [TEX]p^2=n+2[/TEX].

Lời giải. Ta có [TEX]\frac{p}{m-1}= \frac{m+n}{p} \Leftrightarrow p^2=(m+n)(m-1)[/TEX].

Do m,n là số tự nhiên nên [TEX]m+n>m-1[/TEX].
Lại vì p là số nguyên tố nên chỉ có thể [TEX]p^2=1.p^2=p.p[/TEX].
Mà [TEX]m+n>m-1[/TEX] nên [TEX]m+n=p^2, \; m-1=1[/TEX].
Khi đó [TEX]m-1=1 \Rightarrow m=2[/TEX], thay vào [TEX]m+n=p^2[/TEX] ta được [TEX]2+n=p^2[/TEX].