[HSG Toán] Đại số 9

[cobebichbu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x>0$ và $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 7$. Tính giá trị biểu thức $x^5 + \dfrac{1}{x^5}$

 

[viethoang1999]

Ta có công thức tổng quát sau:
$x^{n+1}+\dfrac{1}{x^{n+1}}=\left ( x^n+\dfrac{1}{x^n} \right ) \left ( x+\dfrac{1}{x} \right )-\left ( x^{n-1}+\dfrac{1}{x^{n-1}} \right )$

____
Ví dụ:
Quay lại bài toán:
$\left ( x+\dfrac{1}{x} \right )^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2=9$
Do $x>0$ nên $x+\dfrac{1}{x}=3$

Lần lượt thay $n=2;3;4$ vào công thức tổng quát bên trên ta sẽ tính được yêu cầu đề bài.

 

[nhuquynhdat]

Từ $x^2+ \dfrac{1}{x^2}=7 \Longrightarrow (x+\dfrac{1}{x})^2-2=7 \Longrightarrow x+\dfrac{1}{x}=3$

$\Longrightarrow (x+\dfrac{1}{x})(x^2+ \dfrac{1}{x^2})=21$

$\leftrightarrow x^3+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x}+ x=21 \leftrightarrow x^3+ \dfrac{1}{x^3}=18$

$(x^2+ \dfrac{1}{x^2})^2=49 \Longrightarrow x^4+ \dfrac{1}{x^4}=47$

$(x+\dfrac{1}{x})(x^4+\dfrac{1}{x^4})=3.47$

Làm tiếp nhá

 

[cobebichbu]

Ta có công thức tổng quát sau:
$x^{n+1}+\dfrac{1}{x^{n+1}}=\left ( x^n+\dfrac{1}{x^n} \right ) \left ( x+\dfrac{1}{x} \right )-\left ( x^{n-1}+\dfrac{1}{x^{n-1}} \right )$

____
Ví dụ:
Quay lại bài toán:
$\left ( x+\dfrac{1}{x} \right )^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2=9$
Do $x>0$ nên $x+\dfrac{1}{x}=3$

Lần lượt thay $n=2;3;4$ vào công thức tổng quát bên trên ta sẽ tính được yêu cầu đề bài.

Bài này có cách nào giải theo công thức $x^{2k + 1} + y^{2k + 1} = (x + y)(x^{2k} - x^{2k-1}y + x^{2k-2}y^2 - ... - xy^{2k-1} + y^{2k})$ không ạ?

 

[viethoang1999]

Bài này có cách nào giải theo công thức $x^{2k + 1} + y^{2k + 1} = (x + y)(x^{2k} - x^{2k-1}y + x^{2k-2}y^2 - ... - xy^{2k-1} + y^{2k})$ không ạ?

Bạn nháp thử xem :|

Nên viết như này hơn:
$x^{2k + 1} + \dfrac{1}{y^{2k + 1} }=...$

Thực ra nó cũng giống cách mình thôi, tự nhiên cho ra 2 ẩn nữa