Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Vì hai đường chéo bằng nhau nên tứ giác PHQK là hình thoi. Do đó $\overrightarrow{PQ} \overrightarrow{HK}= \overrightarrow{0}$
Xét $F = \overrightarrow{PQ}\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ}(\overrightarrow{MH}+ \overrightarrow{HK}+ \overrightarrow{KN}) = \overrightarrow{PQ}( \overrightarrow{MH}+ \overrightarrow{KN})$ (1)
mà $\overrightarrow{PQ} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})$ thay vào (1) ta có $2F = ( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})( \overrightarrow{MH}+ \overrightarrow{KN}) = \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{KN}-\overrightarrow{CD}. \overrightarrow{HM}$
Để ý rằng $\angle ( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{KN}) = \angle ( \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{HM})$ (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Đặt $AB = m, CD =n$ và $\angle MBA = \alpha$ thì $2MH = m\tan \alpha$ và $2NK = n\tan \alpha$ \Rightarrow $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{KN} = \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MH}$
Từ đó chứng minh được rằng $2F = 0$ hay $\overrightarrow{MN} \perp \overrightarrow{PQ}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
