- 19 Tháng tám 2018
- 2,749
- 6,038
- 596
- 23
- Thái Bình
- Đại học Y Dược Thái Bình
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Chào các bạn, hôm nay mình muốn chia sẻ cho các bạn một câu hệ phương trình khá hay. Câu này có thể giải bằng rất nhiều cách, mình và các bạn cùng tìm hiểu nha
Bài toán: Giải hệ phương trình sau [tex]\left\{\begin{matrix} x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^{2})}=12 & (1) \\ x^{3}-8x-1=2\sqrt{y-2} & (2) \end{matrix}\right.[/tex]
Hướng dẫnBài toán này có một phương trình gây rất nhiều chú ý, đó là phương trình $(1)$. Các số $12$ xuất hiện nhiều lần trong phương trình $(1)$ không phải ngẫu nhiên, khi mà vị trí xuất hiện của chúng luôn đi kèm với dấu $+$
Do đó chắc chắn chúng ta sẽ phải xử lý phương trình $(1)$ trước, sau đó mới thay kết quả từ phương trình $(1)$ vào phương trình $(2)$.
[tex]\triangleright \triangleright[/tex] Xử lý phương trình $(1)$
Một lời khuyên là: khi bế tắc ở một phương trình, chúng ta hãy nghĩ đến bất đẳng thức. Và khi nghĩ đến bất đẳng thức, chúng ta có thể nhanh chóng nhận thấy các cách giải quyết phương trình $(1)$ lần lượt xuất hiện
[tex]\triangleright[/tex] Cách 1: Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
Với những bạn có kiến thức về Bất đẳng thức ở mức khá, sẽ không quá khó để nhận ra rằng nếu sử dụng bất đẳng thức này vào phương trình $(1)$ , ta sẽ thấy ngay được kết quả mà không phải thông qua bước biến đổi phức tạp nào. Cụ thể ta sẽ biến đổi như sau:
Vậy là dấu $"="$ sẽ phải xảy ra. Phương trình được giải quyết trong 1 dòng!
[tex]\triangleright[/tex] Cách 2: Bất đẳng thức Cô-si
Từ kết quả của cách 1, dựa vào điều kiện xảy ra dấu $"="$ ta có thể tiến hành nắn để sử dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm. Cụ thể ta biến đổi như sau:
[tex]\triangleright[/tex] Cách 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Để tạo ra sự đồng bộ về bậc giữa các thành phần trong phương trình $(1)$, ta sẽ tiến hành đặt ẩn phụ là [tex]a=\sqrt{12-y}[/tex]. Khi đó [tex]y=12-a^{2}[/tex], cũng khớp với [tex]\sqrt{12-x^{2}}[/tex]. Và khi đã tiến hành đặt ẩn phụ không hoàn toàn, chúng ta chỉ có thể xử lý bằng cách bình phương lên để khử căn, rồi tiến hành biểu diễn các ẩn qua nhau.
Phương trình $(1)$ sẽ trở thành:
Cách giải quyết này rất không có sự góp mặt của một yếu tố cao siêu nào như hai cách đầu. Tuy nhiên để nhìn ra sự "đẳng cấp" giữa $x$ và [tex]\sqrt{12-y}[/tex] thì cũng không phải dễ dàng.
[tex]\triangleright[/tex] Cách 4: Nhân biểu thức liên hợp
$TH1:$ Nếu [tex]x\sqrt{12-y}=\sqrt{(12-x^{2})y}[/tex], từ phương trình $(1)$ ta suy ra:
[tex]x\sqrt{12-y}=\sqrt{(12-x^{2})y}=6\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 0 & & \\ x^{2}(12-y)=36 & & \\ y(12-x^{2})=36 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x > 0 & \\ x^{2}=y=6 & \end{matrix}\right.[/tex]
Thử lại không thỏa mãn phương trình $(2)$.
$TH2:$ Với [tex]x.\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y}\neq 0[/tex]
Nhân cả 2 vế phương trình $(1)$ với [tex]x.\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y}[/tex] ta được:
[tex]\left [ x\sqrt{12-y}+\sqrt{(12-x^{2})y} \right ]\left [ x\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y} \right ]=12 \left [ x\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y} \right ][/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^{2}(12-y)-(12-x^{2})y=12(x\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^{2}-y=x\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y}[/tex] $(3)$
Kết hợp giữa $(1)$ và $(3)$ ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} x\sqrt{12-y}=\dfrac{x^{2}-y+12}2 & \\ \sqrt{(12-x^{2})y}=\dfrac{12+y-x^{2}}2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0 & \\ y=12-x^{2} & \end{matrix}\right.[/tex]
Cách xử lý này có lẽ sẽ ít được nghĩ đến, vì khó có thể định hình được rằng sẽ tạo ra được một hệ phương trình với hai ẩn [tex]\left\{\begin{matrix} x\sqrt{12-y} & \\ \sqrt{(12-x^{2})y} & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\triangleright \triangleright[/tex] Xử lý phương trình $(2)$
Sau khi đã xử lý phương trình $(1)$ bằng một số cách giải quyết trên ta thu được kết quả là: $y=12-x^{2}$
Đem thế vào phương trình $(2)$ ta thu được một phương trình vô tỉ không mấy dễ nhìn: [tex]x^{3}-8x-1=2\sqrt{10-x^{2}}[/tex]
Đến đây, chúng ta sẽ tiến hành "ép nghiệm" để giải quyết bài toán:
[tex]x^{3}-8x-1=2\sqrt{10-x^{2}}\Leftrightarrow (x^{3}-8x-3)-(2\sqrt{10-x^{2}}-2)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-3)\left [ x^{2}+3x+1+\dfrac{2(x+3)}{\sqrt{10-x^{2}}+1} \right ]=0[/tex]
Do [tex]x\geq 0[/tex] nên $x^{2}+3x+1+\dfrac{2(x+3)}{\sqrt{10-x^{2}}+1} > 0$
Vậy là bài toán đã được giải quyết hoàn toàn bằng nhiều hướng suy nghĩ khác nhau.
[tex]\triangleright[/tex] Cách 1: Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
[tex]\left [ \sqrt{12-y}.x+\sqrt{y(12-x^{2})} \right ]^{2}\leq (x^{2}+12-x^{2})(12-y+y)=144[/tex]
[tex]\Rightarrow x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^{2})}\leq 12[/tex]
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi:
[tex]\dfrac{x}{\sqrt{12-x^{2}}}=\dfrac{\sqrt{12-y}}{\sqrt{y}}\Leftrightarrow x\sqrt{y}=\sqrt{(12-x^{2})(12-y)}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0 & \\ y=12-x^{2} & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\triangleright[/tex] Cách 2: Bất đẳng thức Cô-si
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:
$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{12-y}\leq \left | x \right |\sqrt{12-y}\leq \dfrac{x^{2}+12-y}2 & \\ \sqrt{y(12-x^{2})}\leq \dfrac{y+12-x^{2}}2 & \end{matrix}\right.$
Cộng theo 2 vế bất đẳng thức lại, ta có:
[tex]x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^{2})}\leq \dfrac{x^{2}+12-y}{2}+\dfrac{y+12-x^{2}}{2}=12[/tex]
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi: [tex]\left\{\begin{matrix} x=\left | 2 \right | & \\ x^{2}=12-y & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0 & \\ y=12-x^{2} & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\triangleright[/tex] Cách 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Đặt [tex]a=\sqrt{12-y}[/tex] ta có:
[tex]x.a+\sqrt{(12-x^{2})(12-a^{2})}=12[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{(12-x^{2})(12-a^{2})}=12-xa[/tex][tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12\geq x.a & \\ (12-x^{2})(12-a^{2})=(12-x.a)^{2} & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12\geq x.a & \\ (x-a)^{2}=0 & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x.a\leq 12 & \\ x=a & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow x=\sqrt{12-y}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x> 0 & \\ x^{2}=12-y & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\triangleright[/tex] Cách 4: Nhân biểu thức liên hợp
$TH1:$ Nếu [tex]x\sqrt{12-y}=\sqrt{(12-x^{2})y}[/tex], từ phương trình $(1)$ ta suy ra:
[tex]x\sqrt{12-y}=\sqrt{(12-x^{2})y}=6\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 0 & & \\ x^{2}(12-y)=36 & & \\ y(12-x^{2})=36 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x > 0 & \\ x^{2}=y=6 & \end{matrix}\right.[/tex]
Thử lại không thỏa mãn phương trình $(2)$.
$TH2:$ Với [tex]x.\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y}\neq 0[/tex]
Nhân cả 2 vế phương trình $(1)$ với [tex]x.\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y}[/tex] ta được:
[tex]\left [ x\sqrt{12-y}+\sqrt{(12-x^{2})y} \right ]\left [ x\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y} \right ]=12 \left [ x\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y} \right ][/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^{2}(12-y)-(12-x^{2})y=12(x\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^{2}-y=x\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y}[/tex] $(3)$
Kết hợp giữa $(1)$ và $(3)$ ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} x\sqrt{12-y}=\dfrac{x^{2}-y+12}2 & \\ \sqrt{(12-x^{2})y}=\dfrac{12+y-x^{2}}2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0 & \\ y=12-x^{2} & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\triangleright \triangleright[/tex] Biến đổi phương trình $(2)$
Thay $y=12-x^{2}$ vào phương trình $(2)$ ta được:
[tex]x^{3}-8x-1=2\sqrt{10-x^{2}}\Leftrightarrow (x^{3}-8x-3)-(2\sqrt{10-x^{2}}-2)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-3)\left [ x^{2}+3x+1+\dfrac{2(x+3)}{\sqrt{10-x^{2}}+1} \right ]=0[/tex]
Do [tex]x\geq 0[/tex] nên $x^{2}+3x+1+\dfrac{2(x+3)}{\sqrt{10-x^{2}}+1} > 0$
Suy ra $x=3$. Từ đó suy ra $y=3$
Vậy hệ phương trình có nghiệm là [tex]\left\{\begin{matrix} x=3 & \\ y=3 & \end{matrix}\right.[/tex]
Chúng ta có thể dế dàng thấy rằng bài toán này được người ta ra dựa trên tinh thần của việc sử dụng bất đẳng thức. Nếu bắt nguồn ý tưởng từ cách 3 cách 4 thì khó lòng mà căn chỉnh sao cho sẽ tạo ra được các kết quả như ý muốn.
Topic của mình đến đây là hết rồi. Chúc các bạn học tốt
Bài toán: Giải hệ phương trình sau [tex]\left\{\begin{matrix} x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^{2})}=12 & (1) \\ x^{3}-8x-1=2\sqrt{y-2} & (2) \end{matrix}\right.[/tex]
Hướng dẫn
Do đó chắc chắn chúng ta sẽ phải xử lý phương trình $(1)$ trước, sau đó mới thay kết quả từ phương trình $(1)$ vào phương trình $(2)$.
[tex]\triangleright \triangleright[/tex] Xử lý phương trình $(1)$
Một lời khuyên là: khi bế tắc ở một phương trình, chúng ta hãy nghĩ đến bất đẳng thức. Và khi nghĩ đến bất đẳng thức, chúng ta có thể nhanh chóng nhận thấy các cách giải quyết phương trình $(1)$ lần lượt xuất hiện
[tex]\triangleright[/tex] Cách 1: Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
Với những bạn có kiến thức về Bất đẳng thức ở mức khá, sẽ không quá khó để nhận ra rằng nếu sử dụng bất đẳng thức này vào phương trình $(1)$ , ta sẽ thấy ngay được kết quả mà không phải thông qua bước biến đổi phức tạp nào. Cụ thể ta sẽ biến đổi như sau:
[tex]\left [ \sqrt{12-y}.x+\sqrt{y.(12-x^{2})} \right ]^{2}\leq (x^{2}+12-x^{2})(12-y+y)=144[/tex]
[tex]\Rightarrow x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^{2})}\leq 12[/tex]
[tex]\triangleright[/tex] Cách 2: Bất đẳng thức Cô-si
Từ kết quả của cách 1, dựa vào điều kiện xảy ra dấu $"="$ ta có thể tiến hành nắn để sử dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm. Cụ thể ta biến đổi như sau:
[tex]\left\{\begin{matrix} x\sqrt{12-y}\leq \left | x \right |\sqrt{12-y}\leq \dfrac{x^{2}+12-y}2 & \\ \sqrt{y(12-x^{2})}\leq \dfrac{y+12-x^{2}}2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^{2})}\leq 12[/tex]
Do đó, dấu $"="$ phải xảy ra. Cách giải quyết này cũng rất dễ hiểu.[tex]\triangleright[/tex] Cách 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Để tạo ra sự đồng bộ về bậc giữa các thành phần trong phương trình $(1)$, ta sẽ tiến hành đặt ẩn phụ là [tex]a=\sqrt{12-y}[/tex]. Khi đó [tex]y=12-a^{2}[/tex], cũng khớp với [tex]\sqrt{12-x^{2}}[/tex]. Và khi đã tiến hành đặt ẩn phụ không hoàn toàn, chúng ta chỉ có thể xử lý bằng cách bình phương lên để khử căn, rồi tiến hành biểu diễn các ẩn qua nhau.
Phương trình $(1)$ sẽ trở thành:
[tex]x.a+\sqrt{(12-x^{2})(12-a^{2})}=12[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{(12-x^{2})(12-a^{2})}=12-xa[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12\geq x.a & \\ (12-x^{2})(12-a^{2})=(12-x.a)^{2} & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12\geq x.a & \\ (x-a)^{2}=0 & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x.a\leq 12 & \\ x=a & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow x=\sqrt{12-y}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x> 0 & \\ x^{2}=12-y & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{(12-x^{2})(12-a^{2})}=12-xa[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12\geq x.a & \\ (12-x^{2})(12-a^{2})=(12-x.a)^{2} & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12\geq x.a & \\ (x-a)^{2}=0 & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x.a\leq 12 & \\ x=a & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow x=\sqrt{12-y}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x> 0 & \\ x^{2}=12-y & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\triangleright[/tex] Cách 4: Nhân biểu thức liên hợp
$TH1:$ Nếu [tex]x\sqrt{12-y}=\sqrt{(12-x^{2})y}[/tex], từ phương trình $(1)$ ta suy ra:
[tex]x\sqrt{12-y}=\sqrt{(12-x^{2})y}=6\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 0 & & \\ x^{2}(12-y)=36 & & \\ y(12-x^{2})=36 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x > 0 & \\ x^{2}=y=6 & \end{matrix}\right.[/tex]
Thử lại không thỏa mãn phương trình $(2)$.
$TH2:$ Với [tex]x.\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y}\neq 0[/tex]
Nhân cả 2 vế phương trình $(1)$ với [tex]x.\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y}[/tex] ta được:
[tex]\left [ x\sqrt{12-y}+\sqrt{(12-x^{2})y} \right ]\left [ x\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y} \right ]=12 \left [ x\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y} \right ][/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^{2}(12-y)-(12-x^{2})y=12(x\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^{2}-y=x\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y}[/tex] $(3)$
Kết hợp giữa $(1)$ và $(3)$ ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} x\sqrt{12-y}=\dfrac{x^{2}-y+12}2 & \\ \sqrt{(12-x^{2})y}=\dfrac{12+y-x^{2}}2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0 & \\ y=12-x^{2} & \end{matrix}\right.[/tex]
Cách xử lý này có lẽ sẽ ít được nghĩ đến, vì khó có thể định hình được rằng sẽ tạo ra được một hệ phương trình với hai ẩn [tex]\left\{\begin{matrix} x\sqrt{12-y} & \\ \sqrt{(12-x^{2})y} & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\triangleright \triangleright[/tex] Xử lý phương trình $(2)$
Sau khi đã xử lý phương trình $(1)$ bằng một số cách giải quyết trên ta thu được kết quả là: $y=12-x^{2}$
Đem thế vào phương trình $(2)$ ta thu được một phương trình vô tỉ không mấy dễ nhìn: [tex]x^{3}-8x-1=2\sqrt{10-x^{2}}[/tex]
Đến đây, chúng ta sẽ tiến hành "ép nghiệm" để giải quyết bài toán:
[tex]x^{3}-8x-1=2\sqrt{10-x^{2}}\Leftrightarrow (x^{3}-8x-3)-(2\sqrt{10-x^{2}}-2)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-3)\left [ x^{2}+3x+1+\dfrac{2(x+3)}{\sqrt{10-x^{2}}+1} \right ]=0[/tex]
Do [tex]x\geq 0[/tex] nên $x^{2}+3x+1+\dfrac{2(x+3)}{\sqrt{10-x^{2}}+1} > 0$
Vậy là bài toán đã được giải quyết hoàn toàn bằng nhiều hướng suy nghĩ khác nhau.
Giải chi tiết
[tex]\triangleright \triangleright[/tex] Biến đổi phương trình $(1)$[tex]\triangleright[/tex] Cách 1: Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
[tex]\left [ \sqrt{12-y}.x+\sqrt{y(12-x^{2})} \right ]^{2}\leq (x^{2}+12-x^{2})(12-y+y)=144[/tex]
[tex]\Rightarrow x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^{2})}\leq 12[/tex]
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi:
[tex]\dfrac{x}{\sqrt{12-x^{2}}}=\dfrac{\sqrt{12-y}}{\sqrt{y}}\Leftrightarrow x\sqrt{y}=\sqrt{(12-x^{2})(12-y)}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0 & \\ y=12-x^{2} & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\triangleright[/tex] Cách 2: Bất đẳng thức Cô-si
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:
$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{12-y}\leq \left | x \right |\sqrt{12-y}\leq \dfrac{x^{2}+12-y}2 & \\ \sqrt{y(12-x^{2})}\leq \dfrac{y+12-x^{2}}2 & \end{matrix}\right.$
Cộng theo 2 vế bất đẳng thức lại, ta có:
[tex]x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^{2})}\leq \dfrac{x^{2}+12-y}{2}+\dfrac{y+12-x^{2}}{2}=12[/tex]
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi: [tex]\left\{\begin{matrix} x=\left | 2 \right | & \\ x^{2}=12-y & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0 & \\ y=12-x^{2} & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\triangleright[/tex] Cách 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Đặt [tex]a=\sqrt{12-y}[/tex] ta có:
[tex]x.a+\sqrt{(12-x^{2})(12-a^{2})}=12[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{(12-x^{2})(12-a^{2})}=12-xa[/tex][tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12\geq x.a & \\ (12-x^{2})(12-a^{2})=(12-x.a)^{2} & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12\geq x.a & \\ (x-a)^{2}=0 & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x.a\leq 12 & \\ x=a & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow x=\sqrt{12-y}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x> 0 & \\ x^{2}=12-y & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\triangleright[/tex] Cách 4: Nhân biểu thức liên hợp
$TH1:$ Nếu [tex]x\sqrt{12-y}=\sqrt{(12-x^{2})y}[/tex], từ phương trình $(1)$ ta suy ra:
[tex]x\sqrt{12-y}=\sqrt{(12-x^{2})y}=6\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 0 & & \\ x^{2}(12-y)=36 & & \\ y(12-x^{2})=36 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x > 0 & \\ x^{2}=y=6 & \end{matrix}\right.[/tex]
Thử lại không thỏa mãn phương trình $(2)$.
$TH2:$ Với [tex]x.\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y}\neq 0[/tex]
Nhân cả 2 vế phương trình $(1)$ với [tex]x.\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y}[/tex] ta được:
[tex]\left [ x\sqrt{12-y}+\sqrt{(12-x^{2})y} \right ]\left [ x\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y} \right ]=12 \left [ x\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y} \right ][/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^{2}(12-y)-(12-x^{2})y=12(x\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^{2}-y=x\sqrt{12-y}-\sqrt{(12-x^{2})y}[/tex] $(3)$
Kết hợp giữa $(1)$ và $(3)$ ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} x\sqrt{12-y}=\dfrac{x^{2}-y+12}2 & \\ \sqrt{(12-x^{2})y}=\dfrac{12+y-x^{2}}2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0 & \\ y=12-x^{2} & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\triangleright \triangleright[/tex] Biến đổi phương trình $(2)$
Thay $y=12-x^{2}$ vào phương trình $(2)$ ta được:
[tex]x^{3}-8x-1=2\sqrt{10-x^{2}}\Leftrightarrow (x^{3}-8x-3)-(2\sqrt{10-x^{2}}-2)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-3)\left [ x^{2}+3x+1+\dfrac{2(x+3)}{\sqrt{10-x^{2}}+1} \right ]=0[/tex]
Do [tex]x\geq 0[/tex] nên $x^{2}+3x+1+\dfrac{2(x+3)}{\sqrt{10-x^{2}}+1} > 0$
Suy ra $x=3$. Từ đó suy ra $y=3$
Vậy hệ phương trình có nghiệm là [tex]\left\{\begin{matrix} x=3 & \\ y=3 & \end{matrix}\right.[/tex]
Chúng ta có thể dế dàng thấy rằng bài toán này được người ta ra dựa trên tinh thần của việc sử dụng bất đẳng thức. Nếu bắt nguồn ý tưởng từ cách 3 cách 4 thì khó lòng mà căn chỉnh sao cho sẽ tạo ra được các kết quả như ý muốn.
Topic của mình đến đây là hết rồi. Chúc các bạn học tốt
Last edited: