Toán 10 Học bất đẳng thức cùng Bờm

[thaybom]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Sau khi thấy cuộc trao đổi ngốc nghếch giữa Bờm và Phú Ông, hôm nay tớ sẽ mở lớp để dạy Bờm, bạn nào hứng thú thì học cùng nhé :khi (58):

Học bất đẳng thức cùng Bờm
​

Bất đẳng thức là 1 phần khó trong chương trình THPT, để Bờm và các bạn mới học BDT khỏi lúng túng mình sẽ đưa lên các bài tập đơn giản, hay sử dụng trong chứng minh để các bạn làm quen trước.

* Các bạn chú ý:
+ TOPIC này chỉ để gửi đề bài lên, các bạn tuyệt đối không thảo luận tại đây.
+ Các bạn click vào số bài để đến nơi thảo luận.
+ Để cho bài viết đẹp hơn các bạn CLICK VÀO ĐÂY để học cách gõ CT Toán.
+ Chúc các bạn và Bờm sớm trở thành cao thủ bất đẳng thức.

Các bất đẳng thức thông dụng
1. Chứng minh rằng:
$$a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3} \ge ab + bc + ca$$

2. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a. $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}$
b. $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{a+b+c}$

3. Cho các số thực dương a, b. Chứng minh rằng:
a. $a^3+b^3 \ge ab(a+b)$
b. $4(a^3+b^3) \ge (a+b)^3$

4.Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: $$(a+b+c)(ab+bc+ca) \le \frac98 (a+b)(b+c)(c+a)$$

5.Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: $$abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$$

Các bạn click vào số bài để thảo luận nhé, bạn nào muốn gửi bài thì xem mẫu trên rồi gửi, thoạt đầu các bạn đừng nên gửi bài quá khó nhé, tại vì Bờm chưa có kiến thức cơ bản đâu.


Các bất đẳng thức thông dụng.....
6. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$(ab+bc+ca)^2 \ge 3abc(a+b+c)$$
7. Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{y} + \frac{c^2}{z} \ge \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$$
(BDT Svac-Xơ với n=3)
8.Cho a, b, c, x, y, z, m, n, p là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$(a^3 + b^3 + c^3)(m^3+n^3+p^3)(x^3+y^3+z^3) \ge ( amx + bny + cpz)^3$$

9.Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \ge \fra$$
(BDT Nesbit)
10.Chứng minh rằng với các số thực dương a, b, c, và 2 số nguyên dương n, k, ta có: $$a^{n+k} + b^{n+k} + c^{n+k} \ge a^nb^k + b^n c^k + c^n a^k $$


Các bài toán rèn luyện kỹ năng cơ bản...
11. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn $x+y=2$. Chứng minh rằng: $$x^3y^3 (x^3+y^3) \le 2$$

12. Cho $a,b \ge c >0$. Chứng minh rằng: $$\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab}$$

13. Cho a, b, c, d là các số thực không âm thỏa mãn $$(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)>0$$ Chứng minh rằng: $$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+ \sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}} \ge 2$$

14. Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: $$\dfrac{(a+b)(a+b+c)(a+b+c+d)^2}{abcd} \ge 64$$

15. Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: $$\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd} } + \frac{16abcd}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)} \ge 5$$

* Các bài tập được trích dẫn từ sách: "Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức" (Võ bá Quốc Cẩn - Trần Quốc Anh)




Các bài toán rèn luyện kỹ năng cơ bản...
16.Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng $$\frac{ab}{c^2} + \frac{bc}{a^2} + \frac{ca}{b^2} \ge \frac12 \left( \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} \right)$$
17. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng $$ \frac{a}{a+2b} + \frac{b}{b+2c} + \frac{c}{c+2a} \ge 1$$
18. Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng $$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a} + \frac{d}{a+b} \ge 2$$
19. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$\frac{a}{a+2bc} + \frac{b}{b+2ca} + \frac{c}{c+2ab} \ge 1$$
20. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c thỏa mãn $ a+b+c=3$ thì $$\frac{a^2b}{2a+b} + \frac{b^2c}{2b+c} + \frac{c^2a}{2c+a} \le \fra$$


21. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\ge \dfrac{3}{2}\ (1)$$

22. Chứng minh rằng với $a,b,c,d$ thực dương thì:
$$\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+d^2}+\dfrac{d^3}{d^2+a^2}\ge \dfrac{a+b+c+d}{2}\ (2)$$


23. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm GTNN của biểu thức:
$$S=\dfrac{a+1}{1+b^2}+\dfrac{b+1}{1+c^2}+\dfrac{c+1}{1+a^2}$$

24. (Vasile) Cho $a,b,c,d$ là các số thực thoả mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=4$. Chứng minh rằng:
$$a^3+b^3+c^3+d^3\le 8$$



25.Cho $a,b,c$ là các số không âm.Chứng minh rằng: $$a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2(ab+bc+ca)$$


26)
Cho $a,b,c >0$. CMR:
$\sum (a+b).(b+c).\sqrt[]{a-b+c} \ge 4.(a+b+c).\sqrt[]{(-a+b+c).(a-b+c).(a+b-c)}$

27)
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng $0$..
CMR: $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+ \dfrac{a^2.b+b^2.c+c^2.a}{a.b^2+b.c^2+c.a^2} \ge \dfrac{5}{2} $

@tuyb: Bò để yên nhé z_z

 

[luckystudent100]

Giải

1: Ta có :a. [TEX]\frac{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2}{3}[/TEX] \geq 0
\Leftrightarrow [TEX]\frac{2(a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc - 2ca)}{3}[/TEX] \geq 0
\Leftrightarrow [TEX](a^2 + b^2 + c^2) - \frac{(a +b + c)^2}{3}[/TEX] \geq 0 \Leftrightarrow [TEX]a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a +b + c)^2}{3}[/TEX] (1)
b.Lấy vế giữa trừ vế phải (2)
(1);(2) ... (ĐPCM)

 

[hoctoan_123]

Xơi bài 2 + 3 (Dễ nhất ^^)

2/ a/ Do a,b > 0
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b} \iff (a+b)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}) \ge 4 \iff 2\sqrt{ab}.2\sqrt{\dfrac{1}{ab}} \le 4 $ (Đúng) ~~> dpcm
(Thật ra đây chỉ là 1 cách trong nhiều cách của bài này
Câu b tương tự

3/
a/ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \ge ab(a+b)$ (Áp dụng AM-GM cho $a^2 + b^2$)
b/ $4(a^3+b^3) = 4[(a+b)^3 - 3ab(a+b)] = 4(a+b)^3 - 3(a+b) . 4ab \ge 4(a+b)^3 - 3(a+b) . (a+b)^2 = (a+b)^3 $ (đpcm)

 

[nhoc_vip_qk98]

em xơi bài 18 luôn

\frac{a}{b+C} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{a+d} + \frac{d}{a+b} \geq 2
Đặt A= \frac{a}{b+C} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{a+d} + \frac{d}{a+b}
B= \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+d} + \frac{d}{a+d}
C= \frac{a}{a+d} + \frac{c}{b+c} + \frac{d}{a+d} + \frac{b}{a+b}
\Rightarrow B+C = 4. theo AM-GM ta có
A+B \geq 4 ( cộng về vs vế )
A+n \geq 4 ( cộng về vs vế )
\Rightarrow B+C+2A \geq 8 \Rightarrow A \geq 2
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow a=b=c=d

 

[tranvanhung7997]

Bài 21: Ta có: $\dfrac{a}{1 + b^2} = a - \dfrac{ab^2}{1 + b^2} \ge a - \dfrac{ab^2}{2b} = a - \dfrac{ab}{2}$
Tương tự => $\dfrac{b}{1 + c^2} \ge b - \dfrac{bc}{2}$ và $\dfrac{c}{1 + a^2} \ge c - \dfrac{ca}{2}$
Cộng theo vế 3 BĐT ta được: $\dfrac{a}{1 + b^2} + \dfrac{b}{1 + c^2} + \dfrac{c}{1 + a^2} \ge a + b + c - \dfrac{ab + bc + ca}{2}$
Ta có: $ab + bc + ca \le \dfrac{(a + b + c)^2}{3} = 3$
=> $\dfrac{a}{1 + b^2} + \dfrac{b}{1 + c^2} + \dfrac{c}{1 + a^2} \ge 3 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}$
Dấu = có <=> a = b = c = 1

 

[tranvanhung7997]

Bài 7: Ta có: $\dfrac{x^2}{a} + \dfrac{y^2}{b} + \dfrac{z^2}{c} = \dfrac{(ay - bx)^2}{ab(a + b + c)} + \dfrac{(bz - cy)^2}{bc(a + b + c)} + \dfrac{(cx - az)^2}{ca(a + b + c)} + \dfrac{(x + y + z)^2}{a + b + c} \ge \dfrac{(x + y + z)^2}{a + b + c}$ đpcm

 

[haycuhocmai]

[TEX]$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{c(a-c)}{ab}}+\sqrt{\frac{c(b-c)}{ab}}\leq \frac{1}{2}(\frac{c+b-c}{c}+\frac{a-c+c}{a})=1\Rightarrow dpcm$[/TEX]
-----sao ko load ct được nhỉ----------rõ ràng gõ latex đúng mà??

 

[viethoang1999]

4.Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: $$(a+b+c)(ab+bc+ca) \le \frac98 (a+b)(b+c)(c+a)$$

$4)$
Áp dụng AM-GM
$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$
$=(a+b+c)(ab+bc+ca)-.\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$
\geq$(a+b+c)(ab+bc+ca)-\dfrac{1}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ca)$
$=\dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$
Dấu "=" có khi: $a=b=c$

 

[vinhle2510]

11/ x^3y^3(x^3+y^3)=x^3y^3(x+y)(x^2-xy+y^2)=2x^3y^3(x^2-xy+y^2)
Áp dụng bđt cauchy:
2(xy)(xy)(xy)(x^2-xy+y^2)<=2((x^2+2xy+y^2)^4/256)=2(x+y)^8/256=2
=>đpcm

 

[longhai12]

Bài 1: a^2+b^2+c^2 - \frac{(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)}{3}\geq0
\Rightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq0 (dpcm)
Ta lại có : \frac{(a+b+c)^2}{3}\geqab+bc+ac (chắc các bạn chứng minh dc nên minh k chứng minh ở đây) \Rightarrow (dpcm)&gt;-

 

[longhai12]

Bài 18 a/b+c \geq a/a+b+c+d
b/c+d\geq b/a+b+c+d
c/d+a\geq c/a+b+c+d
d/a+c\geq d/a+b+c+d
Cộng vế theo vế với nhau là ok ...minh mới tham gia mong các bạn ủng hộ&gt;-

 

[Trịnh Hoàng Quân]

bài 10: Áp dụng bđt cô-si:

=> ĐPCM
bài 12: Áp dụng bđt cô-si:

 

[toilatot]

bài 20 Ta sẽ chứng minh:
(a^2*b)/(2a+b)+(b^2*c)/(2b+c)+(c^2*a)/(2c+a)≤1.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy−Schwarz:
(a^2*b)/(2a+b)=a^2*b* 1/(a+a+b)≤.a^2*b*1/9(1/a+1/a+1/b)=.................
Tương tự ta cób^2*c)/(2b+c).........................
Cộng vế theo vế:
suy ra dpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.

 

[Trịnh Hoàng Quân]

Bài 7: bđt bonhia-copxki cho 3số dương :

( bđt Svac-xơ)

 

[Trịnh Hoàng Quân]

Bài 17: Áp dụng hệ qủa bđt Svac-xơ như bài 7 ta có:

áp dụng cô-si cho 3 số:

(ĐPCM)

 

[Trịnh Hoàng Quân]

Bài 19: cmtt bài 17, nếu bạn nào đã học điểm rơi cô-si thì sẽ thấy dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1

 

[Trịnh Hoàng Quân]

Bài 24:

mà

à mình xin lỗi, chỗ cô-si phải nhân với 4 nữa nhưng mình quên không nhân, đáp án vẫn đúng nhưng các bạn tự hiểu nhá