Toán 11 Hoán vị

[Tú phan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Rút gọn các biểu thức:
a, E=[tex]\sum_{k=1}^{n}k.k![/tex]
b, E=[tex]\sum_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k!}[/tex]
2, Chứng minh:
[tex]n!\geq 2^{n-1}[/tex]

 

[Kaito Kidㅤ]

1.
a.
[tex]k.k!=((k+1)-1)k!=(k+1)!-k!\\ \displaystyle E=\sum_{k=1}^{n}k.k!=2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+(n+1)!-n!=(n+1)!-1[/tex]
b.
[tex]\frac{k-1}{k!}=\frac{1}{(k-1)!}-\frac{1}{k!}\\E=\displaystyle \sum_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k!}=\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}=1-\frac{1}{n!}[/tex]
2.
Với n=0 Đúng
Với n=1 Đúng
Giả sử $n=k \geq 1$ đúng: $k! \geq 2^{k-1}$
Cần CM $(k+1)! \geq 2^{k}$
Có: [tex]k!\geq 2^{k-1}\\k+1 \geq 2(k \geq 1,k\epsilon N^*)\\\Leftrightarrow (k+1)!\geq 2^k[/tex]
Vậy $n! \geq 2^{n-1}$ Đúng với mọi $n \geq 0$