Hình phẳng

[vutdi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trong hệ trục toạ độ 0xy cho 3 điểm $A(-1;-1); B(0;2); C(0;1)$. Viết phương trình đường thẳng d qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C tới d là lớn nhất
Câu 3. Ngày 01/09/2012

 

[hthtb22]

Trước hết ta nhắc lại công thức:
Khoảng cách từ điểm $A(x_0;y_0)$ xuống đường thẳng $ax+by+c=0$ là:
$\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Chứng minh định lý trên băng cách sử dụng bất đẳng thức C.B.S với
Cặp số $(a;x-x_0;b;y-y_0)$ và dấu = bđt là trường hợp trên

Trở lại bài toán:
Gọi phương trình đường thẳng d là : $y=ax+b$ hay $ax-y+b=0$
Vì d đi qua A(-1;-1) nên $a(-1)-(-1)+b=0$ \Rightarrow $a=b+1$
Ta có ; $d: (b+1)x-y+b=0=0$
Ta có: $d(B;d)= \dfrac{|b-2|}{\sqrt{b^2+2b+2}}$
$d(C,d)=\dfrac{|b-1|}{\sqrt{b^2+2b+2}}$

Ta có: P=Tổng khoảng cách =
$\dfrac{|b-2|+|b-1|}{b^2+2b+2}$
Nếu $b \ge 2$ thì $P=\frac{2b-3}{b^2+2b+2} \le \dfrac{\sqrt{29}-5}{2}$
(Sd tam thức bậc hai để tìm giá trị)
Nếu $1 \le b \le 2$ thì $P=\frac{1}{b^2+2b+2} \le \frac{1}{5}$
Nếu $b < 1$ ta có: $P=\frac{3-2b}{b^2+2b+2} \le \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
Xét các giá trị : $P \le \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
Vậy $b=\dfrac{-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$