[Hình phẳng] chứng minh HK đi qua trung điểm BC

[ga_school]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có trực tâm H. Đường phân giác ngoài góc BHC cắt AB, AC tại D, E. Đường phân giác trong của góc BAC cắt đường tròn ngoại tiếp ADE tại K. Chứng minh HK đi qua trung điểm BC

 

[hangthuthu]

Đầu tiên đi chứng minh tam giác ADE cân tại A.AK là phân giác của DAE nên là trung trực của DE,suy ra AK là đg kính đg tròn ngoại tiếp tam giác ADE,
từ đó ta có KD vuông góc vơi AB,KE vuông góc với AC.
KP//QH (cùng vuông góc với AB),tuơg tự cũng có KQ//PH nên KPHQ là hình bình hành,HK đi qua trung điểm của PQ.
gọi BB',CC' là các đg cao của tam giác ABC,ad định lí talet:
-DP//HC' nên PB/PH=DB/DC'
-QE//HB' nên QC/QH=EC/EB'
theo t.c đg phân giác thì: DB/DC'=HB/HC',EC/EB'=HC/HB'
vì B,C,B',C' thuộc đg tròn đg kính BC nên HB.HB'=HC.HC' hay HB/HC' =HC/HB'
vậy PB/PH=QC/QH suy ra PQ//BC mà HK đi qua trung điểm của PQ nên cũng đi qua trung điểm BC (đpcm)