Toán 11 Hình không gian

[Kasparov]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B,AB=Bc=a,AD=2a,SA vuông góc với (ABCD) ,SA=a.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB,CD.tính cos góc giữa MN và (SAC)
Bài 2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,cạnh bên SA vuông góc với đáy,[tex]SA=a\sqrt{2}[/tex].Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB,SD.Góc giữa (AMN) và SB bằng bao nhiêu?

 

[iceghost]

1/ Gọi $P = MN \cap AD$
Do $\dfrac{BN}{PN} = \dfrac{CN}{DN} = 1$ nên $N$ là trung điểm $BP$, suy ra $MN$ là đường trung bình trong $\triangle{SBP}$ nên $MN$ song song $BP$.
Hạ $PH \perp AC$, mà $SA \perp PH$ ($SA \perp (ABCD)$) nên $PH \perp (SAC)$
Từ đó $(MN,(SAC)) = (SP,(SAC)) = (SP,SH) = \widehat{PSH}$
$\dfrac{DP}{BC} = \dfrac{ND}{NC} = 1 \implies DP = BC = a$
$SP = \sqrt{SA^2 + AP^2} = a\sqrt{10}$
$PH =AP \sin \widehat{CAP} = AP \sin \widehat{ACB} = 3a \cdot \sin 45^\circ = \dfrac{3a\sqrt{2}}2$
$\sin(MN,(SAC)) = \sin \widehat{PSH} = \dfrac{PH}{PS} = \dfrac{3\sqrt{5}}{10}$
$\implies \cos(MN,(SAC)) = \dfrac{\sqrt{55}}{10}$

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

1/ Gọi $P = MN \cap AD$
Do $\dfrac{BN}{PN} = \dfrac{CN}{DN} = 1$ nên $N$ là trung điểm $BP$, suy ra $MN$ là đường trung bình trong $\triangle{SBP}$ nên $MN$ song song $BP$.
Hạ $PH \perp AC$, mà $SA \perp PH$ ($SA \perp (ABCD)$) nên $PH \perp (SAC)$
Từ đó $(MN,(SAC)) = (SP,(SAC)) = (SP,SH) = \widehat{PSH}$
$SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = a\sqrt{5}$
$\cos(\vec{BC},\vec{SD}) = \cos(\vec{AD},\vec{SD}) = \cos \widehat{ADS} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$
$\vec{SP} = 2\vec{MN} = \vec{BN} + \vec{SN} = \vec{BC} + \vec{CN} + \vec{SD} + \vec{DN} = \vec{BC} + \vec{SD}$
$\implies SP = BC^2 + SD^2 + 2BC \cdot SD \cdot \cos(\vec{BC},\vec{SD}) = a^2 + 5a^2 + 2 \cdot a^2 \sqrt{5} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} = 10a^2$
$\implies SP = a\sqrt{10}$
$\dfrac{DP}{BC} = \dfrac{ND}{NC} = 1 \implies DP = BC = a$
$PH =AP \sin \widehat{CAP} = AP \sin \widehat{ACB} = 3a \cdot \sin 45^\circ = \dfrac{3a\sqrt{2}}2$
$\cos(MN,(SAC)) = \cos \widehat{PSH} = \dfrac{PH}{PS} = \dfrac{3\sqrt{5}}{10}$

Anh xem lại thử có sai không anh, em tính ra $\frac{\sqrt{55}{10}$

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

Ta có: [tex]CD\perp (SAC)\Rightarrow cos(MN,(SAC))=sin(MN,CD)[/tex]
Gọi H là trung điểm AB[tex]\Rightarrow MH\perp (ABCD)[/tex]
[tex]MN=\sqrt{MH^2+HN^2}=\frac{a\sqrt{10}}{2};MC=\sqrt{MH^2+HC^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}[/tex]
[tex]\cos \widehat{MNC}=\frac{MN^2+NC^2-MC^2}{2MN.NC}=\frac{3\sqrt{5}}{10}[/tex]
[tex]cos(MN,(SAC))=sin\widehat{MNC}=\sqrt{1-cos^2\widehat{MNC}}=\frac{\sqrt{55}}{10}[/tex]

 

[iceghost]

Anh xem lại thử có sai không anh, em tính ra $\frac{\sqrt{55}{10}$

Ừ đúng rồi, mình nhầm chỗ sin với cos chút