Trong mặt phẳng (P) cho 2 đường thẳng a,b cắt nhau tại O. Cho 2 diểm A,B nằm ngoài (P) sao cho AB giao (P) tại C khác O. Xét mặt phẳng (Q) thay đổi luôn đi qua AB, cắt a tại [TEX]A_1[/TEX] cắt b tại [TEX]B_1[/TEX] sao cho các đường thẳng [TEX]AA_1,BB_1[/TEX] cắt nhau tại I,[TEX]AB_1,BA_1[/TEX] cắt nhau tại K.
a) CM: [TEX]A_1B_1[/TEX] luôn đi qua một điểm cố định.
b)CM: Mỗi điểm I,K luôn chạy trên một đường thẳng cố định và IK luôn đi qua một điểm cố định.
Nhìn cái đề bài đã thấy ngại@-)
a) hiển nhiên A1B1 luôn đi qua C cố định
b) Dễ thấy I luôn nằm trên đường thẳng OX là giao tuyến của 2 mp cố định (A;a) và (B;b)
K luôn nằm trên đường thẳng OY là giao tuyến của 2 mp cố định (A;ba) và (B;a)
c) có thể đưa về dạng hình học phẳng:
Cho đường thẳng d và 3 điểm A,B,C nằm trên d, xét 2 điểm A1;B1 phân biệt nằm trên một đường thẳng thay đổi d' qua C và không trùng với d, giả sử AA1 cắt BB1 tại I; AB1 cắt BA1 tại K chứng minh rằng IK luôn đi qua một điểm cố định
Gọi M là giao điểm cỉa IK và đường thẳng d ta sẽ chứng minh M cố định, đầu tiên ta chứng minh định lý menelauyt
Bổ đề: Cho tam giác ABC và 3 điểm M,N,P lần lượt nằm trên AB,BC,CA, chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để M;N;P thẳng hàng là
[TEX]\frac{{\overline {MA} }}{{\overline {MB} }}.\frac{{\overline {NB} }}{{\overline {NC} }}.\frac{{\overline {PC} }}{{\overline {PA} }} = 1[/TEX]
chứng minh định lý này khá đơn giản, đầu tiên ta chứng minh điều kiện cần, kẻ CK song song với MN (K nằm trên AB)khi đó ta có
[TEX]\begin{array}{l}\frac{{\overline {NB} }}{{\overline {NC} }} = \frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MK} }};\frac{{\overline {PC} }}{{\overline {PA} }} = \frac{{\overline {MK} }}{{\overline {MA} }}\\ = > \frac{{\overline {MA} }}{{\overline {MB} }}.\frac{{\overline {NB} }}{{\overline {NC} }}.\frac{{\overline {PC} }}{{\overline {PA} }} = \frac{{\overline {MA} }}{{\overline {MB} }}.\frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MK} }}.\frac{{\overline {MK} }}{{\overline {MA} }} = 1\end{array}[/TEX]
đảo lại nếu
[TEX]\frac{{\overline {MA} }}{{\overline {MB} }}.\frac{{\overline {NB} }}{{\overline {NC} }}.\frac{{\overline {PC} }}{{\overline {PA} }} = 1[/TEX] thì ta gọi P' là giao điểm của MN với AC khi đó theo trên ta có
[TEX]\frac{{\overline {PC} }}{{\overline {PA} }} = \frac{{\overline {P'C} }}{{\overline {P'A} }}[/TEX] suy ra P trùng P'
Trở lại bài toán, áp dụng định lý menelauyt cho tam giác AB1B với cát tuyến KMI;
tam giác AB1C với cát tuyến A1KB, tam giác B1BC với cát tuyến IAA1
[TEX]\begin{array}{l}\frac{{\overline {KA} }}{{\overline {K{B_1}} }}.\frac{{\overline {I{B_1}} }}{{\overline {IB} }}.\frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MA} }} = 1(1)\\\frac{{\overline {KA} }}{{\overline {K{B_1}} }}.\frac{{\overline {{A_1}{B_1}} }}{{\overline {{A_1}C} }}.\frac{{\overline {BC} }}{{\overline {BA} }} = 1(2)\\\frac{{\overline {I{B_1}} }}{{\overline {IB} }}.\frac{{\overline {AB} }}{{\overline {AC} }}.\frac{{\overline {{A_1}C} }}{{\overline {{A_1}{B_1}} }} = 1(3)\\(1)/(2)/(3) = > \frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MA} }} = - \frac{{\overline {CB} }}{{\overline {CA} }} = c{\rm{ons}}t\end{array}[/TEX]
p/s cách này chả liên quan đến HHKG nhưng nó quen thuộc trong hh phẳng nên chém tạm
___________________________________________________________________
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn