Toán 12 Hình không gian liên quan đến thể tích khối chóp

[hoaanhdao1971@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng 3. Gọi [tex]\alpha[/tex] là góc giữa 2 mp (SBC) và (ABC). Tính [tex]\cos \alpha[/tex] khi thể tích khối chóp SABC nhỏ nhất.

 

[tieutukeke]

Gọi a là góc đó đi cho dễ kí hiệu =))
Gọi M là trung điểm BC =>AM vuông góc BC =>BC vuông góc (SAM) =>góc SMA là góc giữa (SBC) và (ABC) =>góc SMA=a
Trong tam giác vuông SAM, từ A kẻ AH vuông góc SM =>AH vuông góc (SBC)
=>AH là k/c từ A đến (SBC) =>AH=3
Trong tam giác vuông AHM, sina=AH/AM =>AM=AH/sina=3/sina
Trong tam giác vuông SAM, tana=SA/AM =>SA=AM.tana=3tana/sina=3/cosa
Trong tam giác vuông cân ABC, AM là trung tuyến =>BC=2AM
=>diện tích ABC =1/2.AM.BC=AM^2=9/sin^2.a
=>Thể tích chóp = 1/3.SA.(diện tích ABC) =1/3.(3/cosa).(9/sin^2.a)=9/cosa.sin^2.a
Thể tích chóp min khi cosa.sin^2.a=cosa(1-cos^2.a) max
Đặt cosa=t (0<t<1), xét f(t)=t(1-t^2)=t-t^3
f'(t)=1-3t^2=0 =>t=căn3/3 =>dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt GTLN trên (0, 1) tại t=căn3/3
=>Khi thể tích chóp nhỏ nhất thì cosa=căn3/3