Toán 11 Hình không gian khó

[Minh Tiến pro]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tứ diện ABCD và điểm M nằm trong tứ diện. Qua M dựng các mặt phẳng $(\alpha)\parallel (BCD),(\beta)\parallel (ACD),(\gamma)\parallel (ABD)$ và $(\mu)\parallel (ABC)$. Biết $(\alpha)$ cắt AB tại E, $(\beta)$ cắt BC tại F, $(\gamma)$ cắt CD tại P, $(\mu)$ cắt AD tại Q. Chứng minh $\sqrt{\dfrac{EA}{EB}}+\sqrt{\dfrac{FB}{FC}}+\sqrt{\dfrac{PC}{PD}}+\sqrt{\dfrac{QD}{QA}}\ge 4\sqrt 3$

Giúp em bài này với ạ, em cảm ơn:

Giúp em với ạ .

 

[iceghost]

Giả sử $AM$ cắt $(BCD)$ tại $I$ thì $\dfrac{EA}{EB} = \dfrac{MA}{MI}$

Tỉ lệ này, bạn hiểu theo tỉ lệ thể tích như sau:

• Đặt $\dfrac{IM}{IA} = \dfrac{V_{M.BCD}}{V_{A.BCD}} = \dfrac{x}{1}$ chẳng hạn
  
  
• Khi đó $\dfrac{MA}{MI} = \dfrac{1 - x}{x}$

Tương tự, bạn cũng có $\dfrac{FB}{FC} = \dfrac{1 - y}{y}$ các thứ, với đk: $x + y + z + t = \dfrac{V_{ABCD}}{V_{ABCD}} = 1$

đpcm $\iff \sqrt{\dfrac{1 - x}{x}} + \sqrt{\dfrac{1 - y}{y}} + \sqrt{\dfrac{1 - z}{z}} + \sqrt{\dfrac{1 - t}{t}} \geqslant 4\sqrt{3}$

Áp dụng bđt Cô-si cho vế trái, ta cần chứng minh: $(1 - x)(1 - y)(1 - z)(1 - t) \geqslant 81xyzt$

$\iff (y + z + t)(z + t + x)(t + x + y)(x + y + z) \geqslant 81xyzt$

Tới đây bạn Cô-si 1 lần nữa là được đpcm nhé

Bạn tham khảo lời giải trên nha. Chúc bạn học tốt!