Toán 8 - Hình khó

[iiarareum]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình vuông ABCD, lấy M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD.
a. Chứng minh DE=CF.
b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c. Xác định vị trí M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Cho hình vuông ABCD, lấy M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD.
a. Chứng minh DE=CF.
b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c. Xác định vị trí M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

Bạn tự vẽ hình
a. AEMF là hình chữ nhật nên AE = FM
DFM vuông cân tại F suy ra FM = DF
=> AE = DF suy ra
tam giác ADE = tam giác DCF
suy ra DE = CF
b) Tương tự câu a) dễ thấy AF = BE
suy ra tam giác ABF = tam giác BCE
Suy ra góc ABF = góc BCE nên BF vuông góc CE
Gọi H là giao điểm của BF và DE
Suy ra H là trực tâm của tam giác CEF
Gọi N là giao điểm của BC và MF
CN = DF = AE và MN = EM = A F
tam giác AEF = tam giác CMN
Suy ra góc AEF = góc MCN
Suy ra CM vuông góc EF
Suy ra 3 đt DE,BF,CM đồng quy tại H
c) AE + EM = AE + EB = AB không đổi
[tex](AE - EM)^2 \geq 0[/tex] [tex]\Rightarrow AE^2+AM^2[tex]\geq[/tex] 2AE.AM[/tex]
[tex]\Rightarrow (AE+AM)^2\geq 4AE.AM[/tex] [tex]\Rightarrow (\frac{AE+EM}{2})^{2}=\frac{AB^{2}}{4}\geq AE.AM[/tex]=SAEMF
Vậy SAEMF max khi AE = EM (M là giao AC và BD)