*Xét bài toán phụ:
_Cho tam giác ABC trọng tâm G
a,Vẽ đường thẳng d qua G cắt AB,AC .Gọi D,E,F là hình chiếu của A,B,C trên d.tìm liên hệ giữa độ dài AD,BE,CF.
b,Nếu đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC và G` là hình chiếu của G trên d thì độ dài AD,BE,Cf có liên hệ gì?
Giai:
Ta có : AG giao BC tại M
Vẽ MN vuông góc với EF
Dễ dàng c/m NM là đường trung bình của hình thang BEFC
=> NM = ( EB+FC) /2
Tam giác ADG ~ tam giác MNG
=> AD/NM = DG/GN = AG/GM = 2
=> NM = AD/2
Từ hai hàng chữ đỏ
=> AD = EB + FC
b)
Gọi giao điểm của BG với AC là I .Vẽ IH vuông với d (H thuộc d)
Gọi trung điểm của BG là P , vẽ PK vuông với d ( K thuộc d )
Có :
GG' là đường trung bình của hình thang PKHI
=> GG' = (PK+ HI )/2 ______(*1)
Mặt khác PK là đường trung bình của hình thang BEG'G
=> PK = (BE + GG')/2 ______(*2)
Tương tự HI là đường trung bình của hình thang ADFC
=> HI = ( AD + CF )/2 ______(*3)
Từ (*1)(*2)(*3)
=> GG' = (BE + GG' + AD + CF) /4
Hay 4.GG' = BE + GG' + AD + CF
=> 3.GG' = BE + AD + CF
-------------------------------
*Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M và N(M nằm giữa A và N).vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMD,MNE,BNF.Gọi G là trọng tâm của tam giác DEF.Chúng minh rằng khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vào vị trí của các điểm M,N trên các đoạn thẳng AB.
Giai:
Ta có :
Xem như tam giác EDF như là tam giác ABC
Vẽ DH ; EK ; FI ; GG' vuông góc với AB ( H ; K ; I ; G' thuộc AB)
Theo như bài c/m trước đó thì ta có
3GG' = DH + EK + FI
Trong tam giác vuông DH^2 + MH^2 = DM^2
Hay DH^2 + (1/2.AM)^2 = DM^2 mà DM = AM
=> DH^2 + 1/4.AM^2 = AM^2
=> DH^2 = 3/4 .AM^2
=> DH = (căn 3)/2 .AM_________(*1)
C/m tương tự có :
EK = (căn 3)/2 .MN ___________(*2)
FI = (căn 3)/2 .NB ____________(*3)
Từ (*1)(*2)(*3)
=> DH + EK + FI = ( căn 3)/2 . AB
=> GG' = AB / [(căn 3) .2]
~Nguồn: hocmai~
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn