Hình học

[toiyeu9a3]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nhọn (AB > AC) góc BAC = 60 ; nội tiếp đường tròn (O:R). Đường phân giác của góc BAC cắt đường tròn ở D,E là điểm đối xứng của D qua O, DE cắt BC ở M. Đường thẳng qua M và trung điểm N của AC cắt đường thẳng AE ở K. Gọi F là hình chiếu của E trên AB. Tính KF theo R.

 

[lamnguyen.rs]

AD là phân giác góc A ==> D là chính giữa cung BC ==> BD = CD ==> D thuộc trung trực BC.
OB = OC (=R) ==> O thuộc trung trực BC ==> OD là trung trực BC ==> DE là trung trực BC ==> M là trung điểm BC và DE vuông góc BC.
Mà N là trung điểm AC ==> MN là đường trung bình tam giác ABC ==> MN // AB.
Ta có EF vuông góc AB ==> EF vuông góc KM (do KM // AB) (1)
Xét tứ giác FEMB có $\widehat{EFB} + \widehat{EMB} = 90^0 + 90^0 = 180^0$ ==> FEMB là tứ giác nội tiếp ==> $\widehat{BFM} = \widehat{BEM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
Mà $\widehat{BEM} = \widehat{BAD}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BD trong (O))
Suy ra $\widehat{BFM} = \widehat{BAD}$ ==> AD // FM
Ta có $\widehat{KAD} = 90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ==> KA vuông góc AD ==> KA vuông góc FM (2)
Từ (1), (2) ==> E là trực tâm tam giác FKM ==> ME vuông góc FK.
Mà ME vuông góc BC ==> BC // FK.
Mặt khác KM // AB (cmt) ==> FKMB là hình bình hành ==> FK = BM
$\widehat{BOM} = \dfrac{\widehat{BOC}}{2} = \widehat{BAC} = 60^0$
$BM = BO.sin 60^0 = R\dfrac{\sqrt{3}}{2}$