Hình học

[quanghuy17111999@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi M là 1 điểm bất kì thuộc cung BC
a/ Cmr MA= MB+ MC
b/ Gọi D là giao điểm của MA và BC .cmr MD/MB+MD/MC= 1
c/ Tính tổng MA^2+MB^2+ MC^2 theo R

 

[angleofdarkness]

a/

Trên tia đối của MC lấy điểm E sao cho ME = MB. Ta sẽ c/m CE = MA.

Thật vậy:

Tứ giác ABMC nội tiếp (O) nên $\angle BAM=\angle BCE$ (góc nội tiếp cùng chắc cung BM) và $\angle BME=\angle BAC=60^o$

$\Delta$BME cân ở M có $\angle BME=60^o$ \Rightarrow $\Delta$BME đều.

\Rightarrow $\angle BEC=60^o$

Như vậy $\Delta$BCE và $\Delta$BAM có: $\angle BCE=\angle BAM$; BC = AB; $\angle CBE=\angle ABM(=\angle CBM+60^o)$

\Rightarrow $\Delta$BCE = $\Delta$BAM (g.c.g) \Rightarrow CE = MA.

\Rightarrow MA = ME + MC = MA + MC \Rightarrow đpcm.

b/

$\Delta$CMD $\sim$ $\Delta$ABD (g.g) \Rightarrow $\dfrac{MC}{AB}=\dfrac{MD}{BD}$

\Rightarrow $\dfrac{MD}{MC}=\dfrac{BD}{BC}$ (*)

Tương tự $\Delta$MBD $\sim$ $\Delta$MAC (g.g) \Rightarrow $\dfrac{MD}{MB}=\dfrac{CD}{BC}$

Kết hợp (*) \Rightarrow $\dfrac{MD}{MC}+\dfrac{MD}{MB}$ $=\dfrac{BD}{BC}+\dfrac{CD}{BC}=1$

\Rightarrow đpcm.

 

[angleofdarkness]

c/

Giả sử có đường cao AH và cắt (O) tại N.

\Rightarrow $\Delta$BON đều \Rightarrow $BH = \dfrac{R.\sqrt{3}}{2}$ \Rightarrow $BC = 2BH = R.\sqrt{3}$

MA = MB + MC \Rightarrow $MA^2+MB^2+MC^2=2(MB^2+MC^2+MB.MC)$ (*)

Mà $BC^2= MB^2 + MC^2 - 2MB.MC.cos 120^o=MB^2 + MC^2 + MB.MC$ @};-

(*) và @};- \Rightarrow $MA^2+MB^2+MC^2=2.BC^2=6R^2$

\Rightarrow đpcm.