Tự vẽ hình nhak bé!!!
( Xét M [TEX]\in \ [/TEX] BH)
Xét 3 tam giác vuông AMP, AMQ và AMH.
Có O là trung điểm cạnh huyền chung AM
\Rightarrow[LATEX] OP = OQ = OH = \frac{1}{2} AM[/LATEX] (1)
và [LATEX] \widehat{QOM} = 2\widehat{QAM}, \widehat{HOM} = 2\widehat{HAM}.[/LATEX]
Trừ vế theo vế, ta được: [LATEX]\widehat{QOH} = 2\widehat{QAH} = \widehat{BAC} = 60^o[/LATEX]
\Rightarrow [TEX]\triangle\[/TEX] QOH đều. \Rightarrow [LATEX]OH = HQ (2)[/LATEX]
Tương tự,ta cũng cm được [TEX]\triangle\[/TEX] HOP đều. => [LATEX]OH = OP (3)[/LATEX]
Từ (1), (2) và (3) suy ra OPQH là hình thoi
Gọi I là trung điểm PQ.
\Rightarrow [LATEX]OH \perp \ PQ[/LATEX] tại I
Có: [LATEX]OI = \frac{1}{2}OH = \frac{1}{4}AM[/LATEX]
\Rightarrow [LATEX]PQ = 2IQ= 2\sqrt{OQ^2 - OI^2} = 2\sqrt{(\frac{AM}{2})^2 -(\frac{AM}{4})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}AM[/LATEX]
Vì AM > AH ([TEX]\triangle \[/TEX] AMH vuông tại H)
\Rightarrow [LATEX]PQ[/LATEX] [TEX]\geq[/TEX][LATEX] \frac{\sqrt{3}}{2} AH [/LATEX]
* Xét [TEX]\triangle \[/TEX] ABH vuông tại H
Có: [LATEX]AH = \sqrt{ AB^2 - BH^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}a[/LATEX]
\Rightarrow [LATEX]PQ[/LATEX] [TEX]\geq[/TEX] [LATEX]\frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2}a[/LATEX] [LATEX]= \frac{\sqrt{6}}{4}a[/LATEX]
Dấu bằng xảy ra khi M trùng H.
Vậy PQ ngắn nhất khi M trùng H và PQ=….
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn