hình học quĩ tích

[ohyeah_002]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định. EF là đường kính di động. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với
đường tròn tại B. Nối AE và AF cắt đường thẳng d tại M và N.
1. Chứng minh AEBF là hình chữ nhật.
2. Chứng minh AE.AM=AF.AN
3. Hạ AD vuông góc với EF, AD cắt MN tại I. Chứng minh IM = IN
4. Gọi H là trực tâm của tam giác MFN. Chứng minh rằng khi đường kính EF di động thì H thuộc 1 đường
tròn cố định.

2) Cho đường tròn (O) và dây AB. Lấy điểm C nằm ngoài đường tròn và nằm trên tia AB. Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn cắt dây AB tại D. Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ 2 I. AB cắt QI tại K.
a) cm tứ giác PDKI nội tiếp
b) cm CI.CP= CK.CD
c)cm CI là tia phân giác góc ngoài đỉnh I của tam giác AIB
d) giả sử A, B, C cố định. Cmr nếu (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A thì đường thẳng QI luôn đi qua 1 điểm cố định.


Giúp mình hai câu quỹ tích cuối bài nhé :khi (181):

 

[lamnguyen.rs]

1d)
Lấy O' đối xứng O qua A ==> AO' = OA = OB và O' cố định
MA và MH cùng vuông góc với FN ==> M, A, H thẳng hàng.
H là trực tâm tam giác MNF ==> FH vuông góc MN. Mà NA vuông góc MH ==> F là trực tâm tam giác MNH ==> MF vuông góc với HN tại I ==> AFIH và MAIN là tứ giác nội tiếp.
Suy ra $\widehat{AFH} = \widehat{AIH} = \widehat{AMN} = \widehat{EFA}$ ==> FA là phân giác góc EFH.
Mà AF vuông góc HE ==> AF cũng là trung tuyến tam giác EFH ==> AE = AH.
Mặt khác AE = BF (do AEBF là HCN) ==> AH = BF.
Ta có AH // BF do cùng vuông góc với AF ==> $\widehat{O'AH} = \widehat{OBF}$
Suy ra TG O'AH = TG OBF (c.g.c) ==> O'H = OF = OA
Suy ra H thuộc đường tròn tâm O' bán kính O'A cố định

 

[lamnguyen.rs]

2d)
Xét 2 tam giác vuông QDB và QDP ta có $\widehat{DQB} = \widehat{DAP}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BP) ==> TG QDB đồng dạng TG ADP (g.g) ==> $\dfrac{DB}{DP} = \dfrac{QD}{AD}$ ==> DB.AD = DP.QD (1)
Ta có $\widehat{DQK} = \widehat{DCP}$ (cùng phụ $\widehat{DPI}$) ==> TG DQK đồng dạng TG DCP (g.g) ==> $\dfrac{DQ}{DC} = \dfrac{DK}{DP}$ ==> DQ.DP = DC.DK (2)
Từ (1), (2) ==> DB.DA = DC.DK ==> $DK = \dfrac{DB.DA}{DC}$
Mà A, B, C cố định, D cũng cố định do là trung điểm AB ==> DK cố định ==> K cố định.
Vậy QI luôn đi qua K cố định