hình học phẳng

[rua93]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

trong mp tọa độ Õy cho đường thẳng d: 4x + 3Y -12 = 0 và điểm A(1;1)
cho M thuộc d, trên tia AM, lấy điểm N sao cho: tích vô hướng vecto AM * vecto AN =4 (xin lỗi vì mình ko biết gõ công thức vecto)
Chứng minh: N chạy trên 1 đường tròn . Viết PT đường tròn đó

 

[quy9a18]

Hinh hoc

Trong mp tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 4x + 3y -12 = 0 và điểm A(1;1)
cho M thuộc d, trên tia AM, lấy điểm N sao cho: tích vô hướng vecto AM * vecto AN =4 (xin lỗi vì mình ko biết gõ công thức vecto)
Chứng minh: N chạy trên 1 đường tròn . Viết PT đường tròn đó.
Giải
A không thuộc d.
Gọi H là hình chiếu của A xuống đường thằng d. Ta có AH=|4+3-12|/5=1
Bạn nhớ hệ thức luợng trong tam giác vuông không?.
vecto AM * vecto AN = AK^2. Để giải bài này bạn phải tìm ra yếu tố cố định. Mà AH >< AK. Bạn xem đề có sai số không.
Tập hợp điểm N là đường tròn tâm I, bán kính R=AH/2.(Nếu AH=AK)

 

[rua93]

lời giải

bài này đề hoàn toàn đúng đó bạn. Mình nghĩ ra 2 cách và chỉ nêu hướng thôi
-Cách 1: tính toán. Giả sử N(a;b), vì N thuộc tia AM nên vecto AM = k * vecto AN (k>0)
nên ta biểu thị đc vecto AM theo k, a,b . Từ đó suy ra tọa độ của M, rồi thay vào PT đường thẳng d, rút k ta đc biểu thức (1)
mặt khác vecto AM * vecto AN =4, thay vào rồi rút k ta đc biểu thức (2)
biểu thức (1) = bt (2) , ta đc pt chỉ có a và b, biến đổi PT ta sẽ đc PT dường tròn cần tìm.
- Cách 2: dùng tính chất " nếu 2 đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại M với MA.MB=MC.MD thì A,B,C,D cùng thuộc 1 đường tròn" cái này sử dụng tam giác đồng dạng dễ dàng chứng minh.
gọi H là hình chiếu của A, N' là điểm thuộc tia AH sao cho vecto AN'.AH=4, nên ta có AM.AN=AH.AN', suy ra M,N,H,N' cùng thuộc 1 đường tròn. Góc MHN' vuông nên góc ANN' vuông. Suy ra N nằm trên đường tròn đường kính AN'. Dễ dàng chứng minh và tìm đc tọa độ của A và N'

 

[quy9a18]

Lời giải

Thắc mắc: Bạn giải chi tiết thử có ra phương trình đường tròn không?.Vì mình cũng hiểu cách giải của bạn nhưng giải không ra đáp án.
-Cách 1:Giả sử N(a;b), M(a',b') vì N thuộc tia AM nên vecto AM = k * vecto AN (k>0) nên ta biểu thị đc vecto AM theo k, a,b (5ẩn). Từ đó suy ra tọa độ của M, rồi thay vào PT đường thẳng d, rút k ta đc biểu thức (1)
mặt khác vecto AM * vecto AN =4, thay vào rồi rút k ta đc biểu thức (2)
biểu thức (1) = bt (2) , ta đc pt chỉ có a và b, biến đổi PT ta sẽ đc PT dường tròn cần tìm. Nếu biến đổi được thì không nói gì. Mình biến đổi ra tới hàm bậc 3.
- Cách 2: dùng tính chất " nếu 2 đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại M với MA.MB=MC.MD thì A,B,C,D cùng thuộc 1 đường tròn" cái này sử dụng tam giác đồng dạng dễ dàng chứng minh.
gọi H là hình chiếu của A, N' là điểm thuộc tia AH (AH=1<4, N' không thuộc AH được) sao cho vecto AN'.AH=4, nên ta có AM.AN=AH.AN', suy ra M,N,H,N' cùng thuộc 1 đường tròn. Góc MHN' vuông nên góc ANN' vuông. Tại sao?. Suy ra N nằm trên đường tròn đường kính AN'. Dễ dàng chứng minh và tìm đc tọa độ của A và N'.
Bạn giải ra chi tiết xem?

 

[vanthanh1501]

Viết vecto nè :
Ghi câu lệnh như sau : \vec{AB} đặt trong thẻ tex để viết [tex]\vec{AB}[/tex]

 

[rua93]

giải chi tiết

theo yêu cầu của bạn thì thì mình sẽ giải chi tiết nhưng sẽ bỏ vài khâu tính toán đơn giản nka!
-Cách 1: N(a;b), [tex]\vec{AN}[/tex] = (a-1;b-1), "N thuộc tia AM nên [tex]\vec{AM}[/tex]=K* [tex]\vec{AN}[/tex] (với K>0). nên [tex]\vec{AM}[/tex] = (k(a-1);k(b-1)), nên M(k(a-1)+1;k(b-1)+1). Thay tọa độ của M vào PT của d ta được k=[tex]\frac{5}{4a + 3b -7}[/tex] (1), ( cái này bạn tự biến đổi nhá).
Mặt khác [tex]\vec{AM}[/tex]*[tex]\vec{AN}[/tex]=4, nên [tex]k(a-1)^2 + k(b-1)^2[/tex] = 4. Rút k=[tex]\frac{4}{(a-1)^2 + (b-1)^2}[/tex] (2)
từ 1 và 2 ta có [tex]\frac{5}{4a + 3b -7}[/tex] = [tex]\frac{4}{(a-1)^2 + (b-1)^2}[/tex], bạn nhân chéo thì đc PT bậc 2 với 2 ẩn a,b. Dễ dàng đưa về PT đường tròn.
-Cách 2: xin lưu ý N' thuốc tia AH chứ ko phải thuộc đoạn thẳng AH. Còn" Góc MHN' vuông nên góc ANN' vuông" là sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp. còn tìm điểm N' thì ta có nhiều cách, tớ chỉ nêu ra 1 cách thôi. Dễ dàng tìm được H(9/5;8/5), nên [tex]\vec{AM}[/tex] = (4/5;3/5), AM=1, AN =4, AN=4.AM. N(a;b), [tex]\vec{AN}[/tex] = (a-1;b-1). Ta có [tex]\vec{AN}[/tex] =4 [tex]\vec{AM}[/tex] nên ta tìm đc a=21/5, b=17/5
Cuối cùng PT đường tròn là [tex] (x-13/5)^2 + (y-11/5)^2 = 4 [/tex]