Toán 9 Hình học nâng cao

[Nanh Trắng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác nhọn ABC có AB<AC. Gọi D,E,F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A,B,C của tam giác, P là giao điểm các đường thẳng BC và EF. Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các cạnh AB,AC,CF tại Q,R,S
a) CMR: tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh PB.DC=PC.DB và D là trung điểm của QS.

 

[7 1 2 5]

a) Ta có: [tex]EF//QR\Rightarrow \widehat{AFE}=\widehat{BQR}[/tex]. Mà BFEC nội tiếp nên [tex]\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\Rightarrow \widehat{BCR}=\widehat{BQR}\Rightarrow[/tex] BQCR nội tiếp
b) Dễ thấy: FC là phân giác của [tex]\widehat{EFD},BF\perp FC\Rightarrow FC[/tex] là phân giác của [tex]\widehat{PFD}\Rightarrow[/tex]
Tam giác PFD có phân giác trong là FB, phân giác ngoài là FC
[tex]\Rightarrow \frac{PB}{BD}=\frac{PC}{CD}\Rightarrow PB.CD=PC.BD[/tex]
Lại có: BQCR nội tiếp [tex]\Rightarrow \widehat{BQR}=\widehat{BCR}[/tex]
Mà AFDC nội tiếp [tex]\Rightarrow \widehat{DFB}=\widehat{ACD}\Rightarrow \widehat{DFB}=\widehat{DQB}\Rightarrow[/tex] DF = DQ
Tam giác QFS vuông tại F có FD = DQ => FD = DQ = DS => D là trung điểm QS