hình học nâng cao

[anhbadao123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)chứng minh diện tích một tam giác có ba đỉnh nằm trên ba cạnh của một hình bình hành không lớn hơn nửa diện tích hình bình hành
2*) cho hình vuông ABCD , cạnh bằng 1 đơn vị dài . một đường thẳng d đi qua C cắt tia AB và AD lần lượt ở E và F.
a)chứng minh BE.DF=1
b)tính độ dài các đoạn thẳng BE và DF khi biết diện tính tam giác AEF bằng 8/3 đơn vị diện tích

 

[bubuchachaabc]

2*) cho hình vuông ABCD , cạnh bằng 1 đơn vị dài . một đường thẳng d đi qua C cắt tia AB và AD lần lượt ở E và F.
a)chứng minh BE.DF=1
b)tính độ dài các đoạn thẳng BE và DF khi biết diện tính tam giác AEF bằng 8/3 đơn vị diện tích

Giải:
a,Vì ABCD là hình vuông [TEX]\Rightarrow[/TEX] AB=AD=CD=1; AB//CD hay AE//CD.
Vì AE//CD [TEX]\Rightarrow \frac{AE}{CD} = \frac{AF}{DF}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \frac{BE-1}{1}= \frac{1- DF}{DF}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow BE-1 = \frac{1}{DF} - 1[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow BE = \frac{1}{DF}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow BE.DF = 1[/TEX] (điều phải chứng minh).(2)
b, Vì ABCD là hình vuông [TEX]\Rightarrow [/TEX] AB vuông góc với AD [TEX]\Rightarrow[/TEX] AF vuông góc với AE.
[TEX]\Rightarrow [/TEX] SAEF = [TEX]\frac{1}{2}. AE .AF[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{2}. AE.AF = \frac{8}{3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 0,5.(BE-1)(1-DF) = \frac{8}{3}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow o,5.(-BE.DF+BE+DF-1) = \frac{8}{3} [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow\frac{1}{2}.(BE+DF -2) = \frac{8}{3} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow BE+DF-2 = \frac{16}{3}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow BE+DF = \frac{22}{3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow BE = \frac{22}{3} - DF [/TEX](1)
Thay (1) vào(2) ta tính được BE, DF.

 

[eye_smile]

1,

Gọi $h_1,h_2$ lần lượt là chiều cao hbh ABCD ( kẻ từ AB đến CD) và tam giác MNP (kẻ từ P)

Xét 2 trường hợp:

TH1:Tam giác MNP có 2 đỉnh cùng nằm trên 1 cạnh của hbh ABCD. Chẳng hạn xét: M,N

nằm trên cạnh CD ( P nằm trên 3 cạnh còn lại)

\Rightarrow $h_1 \ge h_2$ và $CD \ge MN$

\Rightarrow $S_{MNP}=\dfrac{h_2.MN}{2} \le \dfrac{h_1.CD}{2}=\dfrac{S_{ABCD}}{2}$

TH2: Tam giác MNP có 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh của hbh .Chẳng hạn:M trên AB,N trên

CD,P trên AD.Qua P kẻ đường thẳng // CD cắt MN,BC lần lượt ở E,F.

Chứng minh được ABFP,PFCD là các hbh

Dựa vào kết quả TH1 ta có: $S_{MEP} \le \dfrac{S_{ABFP}}{2} ; S_{NEP} \le \dfrac{S_{PFCD}}{2}$

\Rightarrow $S_{MNP}=S_{MEP}+S_{NEP} \le \dfrac{S_{ABFP}}{2}+\dfrac{S_{PFCD}}{2}= \dfrac{S_{ABCD}}{2}$

\Rightarrow đpcm.