Hình học nâng cao

[thoiminh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho tứ giác ABCD, gọi A', B', C', D' theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC.
Chứng minh rằng 4 đường thẳng AA', BB', CC', DD' đồng qui.
2. Cho tứ giác ABCD. Hai cạnh AB và CD kéo dài cắt nhau tại E. Hai cạnh BC và AD kéo dài cắt nhau tại F.
Tính góc tạo bởi 2 tia phân giác của 2 góc E và F theo các góc trong của tứ giác ABCD.

 

[thaolovely1412]

Bài 1

Gọi E,F,J,H,I,K thứ tự là trung điểm của DC,CB,BD,BA,HE,FE.
Gọi G là giao điểm của AI và CJ.
Dễ chứng minh C,K,J thằng hàng.
Ta có:
IK là đường trung bình của tam giác FHE
\Rightarrow [TEX] IK=\frac{1}{2}HF[/TEX] ;IK//HF
Tương tự, [TEX]HF=\frac{1}{2}AC[/TEX];FH//AC
\Rightarrow [TEX]IK=\frac{1}{4}AC[/TEX];IK//AC
[TEX]\frac{GK}{GC}=\frac{IK}{AC}=\frac{1}{4}[/TEX].
\Rightarrow G là trọng tâm tam giác BDC
\Rightarrow G trùng A'.
\Rightarrow A,I,A' thẳng hàng hay AA' đi qua I.
Tương tự, BB';CC';DD' đều đi qua I nên ta có đpcm.

 

[thaolovely1412]

Bài 2
Gọi giao điểm của các tia phân giác của góc E và góc F là I
Giả sử [TEX]\hat{A}=m^o[/TEX], [TEX]\hat{C}=n^o[/TEX]
Áp dụng định lí tổng các góc trong tam giác EIF và ADF
+[TEX] \widehat{EIF}=180^o-\widehat{EFI}-\widehat{IEF}=180^o-(\widehat{CFE}-\widehat{IFC})-(\widehat{CEF}-\widehat{IEC})=180^o+\widehat{IFC}-\widehat{CFE}+\widehat{IEC}-\widehat{CEF}[/TEX]
+ [TEX]\widehat{AED}=180^o-\widehat{ADE}-m^o[/TEX]
Vì EI là phân giác của [TEX]\widehat{AED}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \widehat{IEC}=\frac{\widehat{AED}}{2}=\frac{180^o-\widehat{ADE}-m^o}{2}[/TEX]
Tương tự với tam giác ABF ta có: [TEX]\widehat{IFC}=\frac{180^o-\widehat{ABF}-m^o}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \widehat{IEC}+ \widehat{IFC}=\frac{180^o-\widehat{ABF}-m^o}{2}+\frac{180^o-\widehat{ADE}-m^o}{2}[/TEX]
[TEX]=\frac{360^o-2m^o-(\widehat{ABF}+\widehat{ADE})}{2}[/TEX]
[TEX]=\frac{360^o-2m^o-(360^o-m^o-n^o)}{2}[/TEX]
[TEX]=\frac{360^o-2m^o-360^o+m^o+n^o}{2}[/TEX]
[TEX]=\frac{n^o-m^o}{2}[/TEX]
mà[TEX] \widehat{CEF}+\widehat{CFE}=180^o-\widehat{C}=180^o-n^o[/TEX]
Do đó:[TEX] \widehat{EIF}=180^o-(180^o-\widehat{C})+\frac{n^o-m^o}{2}[/TEX]