Toán 11 hình học không gian

[Bách Lý Thiên Song]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của cạnh AB còn N là điểm thuộc cạnh AC sao cho NA= 2NC. Mặt phẳng (P) thay đổ đi qua M,N cắt cạnh BD,CD tại P, Q
a) chứng minh các đường thẳng MN,PQ,BC đồng quy
b) Gọi K là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh K luôn thuộc 1 đường thẳng cố định
c) Gọi I là giao điểm của MP và NQ. Biết ID=AD, tính các tỉ số PB/PD; QC/QD
giải giúp mình với cảm ơn

 

[Ngọc Linhhh]

a) Lấy giao điểm [math]MN \cap PQ = {H}[/math]Do[math]H \in MN[/math]và [math]MN \in (ABC)[/math]nên [math]H \in (ABC)[/math]Tương tự [math]H \in PQ[/math] và [math]PQ \in (DBC)[/math] nên [math]H \in (DBC)[/math]Suy ra H nằm trên giao tuyến của (ABC) và (DBC)
Đồng thời [math](DBC) \cap (ABC) = BC[/math] do đó [math]H \in BC[/math]Vậy MN, PQ, BC đồng quy tại H
b) Lấy [math]MC \cap BN = O[/math]Ta có [math](MDC) \cap (MNPQ) = MQ[/math] và [math]K \in MQ[/math] nên [math]K \in (MDC)[/math]Hoàn toàn tương tự [math]K \in (NBD)[/math]Ta kết luận K nằm trên giao tuyến của (MDC) và (NBD)
Đồng thời [math](MDC) \cap (NBD) = OD[/math]Nên [math]K \in OD[/math]Dễ dàng chứng minh OD cố định, ta có đpcm

 

[Ngọc Linhhh]

c) Tương tự câu A ta chứng minh được I nằm trên AD
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD có M,P,I thẳng hàng [math]\frac{PB}{PD}.\frac{DI}{AI}.\frac{AM}{BM}=1[/math]Do DI = AI và AM = BM nên [math]\frac{PB}{PD}=1[/math]Tương tự với tam giác ACD có N,Q,I thẳng hàng
Ta có [math]\frac{QC}{QD}=\frac{1}{2}[/math]