Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB , CD . Một mặt phẳng (b) thay đổi đi qua MN . Xác định vị trí của (b) để diện tích thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (b) là lớn nhất.
Giải thích rõ giùm mình nhé.
bài này cũng hay ghê đấy
hình vẽ bằng paint không đẹp lắm
ta thấy là khi (b) thay đổi thì hoặc là (b) cắt đoạn(nhấn mạnh là mình chỉ xét đoạn thôi nhé) BC hoặc AC
ta xét trường hợp (b) cắt BC gọi giao điểm đó là E trường hợp (b) cắt AC thì tương tự
gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC và AD
xét phép dời hình F lấy dối xứng qua đường thẳng MN
ta dễ dàng chứng minh được A là ảnh của B qua phép dời hình F
D là ảnh của C qua F
---> phép dời hình F biến đoạn thẳng BC thành đoạn thẳng AD
---> F biến P (trung điểm của BC) thành Q(trung điểm của AD)
---> PQ vuông góc với MN --> MN cắt PQ tại R
gọi G là ảnh của E qua F
suy ra G thuộc AD và G thuộc (MNE) hay G thuộc (b)
---> thiết diện của ABCD cắt bởi (b) là tứ giác MENG ( nếu E trùng với B hoặc C thì nó là tam giác)
--->F biến tam giác MEN thành tam giác MGN
---> diện tích tam giác MEN = diện tích tam giác MGN
mà diện tích thiết diện = diện tích MEN+ diện tích MGN
--> diẹn tích thiết diện =2 lần diện tích MEN
---> diện tích thiết diện max khi diện tích tam giác MEN max
mà tam giác MEN có MN cố định---> diện tích thiết diện max khi khoảng cách từ E đến MN max
còn tìm E để khoảng cách này max thì mình hết cách đành áp hệ trục tọa độ vào vậy
chọn hệ oxyz có gốc O trùng P Ox trùng BC Oy trùng PD oz hướng lên trên
gọi đặt BC=a
--> tọa độ của B, C, N D thì dễ rồi
còn tọa độ M thì khó hơn chút nhưng cũng không khó lắm gọi H là trọng tâm của tam giác BCD ---> tọa độ H tìm dễ ---> AH vuông góc với (BCD) ---> tọa độ A---> tọa độ M
---> thay vào tính là ra
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
