Gọi O là hình chiếu của A' xuống $(ABC)$ thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta{ABC}$ hay O là trọng tâm tam giác đều $ABC$
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của O lên BC và của M lên B'C' thì M, N là trung điểm BC và B'C'.
Góc giữa $(A'BC)$ và $(BCC'B')$ chính là góc $\hat{A'MN} = 90^o \Rightarrow \Delta{A'MN}$ vuông tại M.
Đặt $AA' = x > 0$ ta có:
$$A'O^2 = x^2 - \frac{a^2}3$$
$$A'M^2 = A'O^2 + OM^2 = x^2 - \frac{a^2}4$$
Vì $\Delta{A'MN}$ vuông tại M lên theo Pytago ta có:
$$MN^2 = A'N^2 - A'M^2 \Leftrightarrow x^2= \frac{3a^2}4 - x^2 + \frac{a^2}4 \Leftrightarrow x = \frac{a\sqrt2}2$$
Ta có:
$$A'O^2 = x^2 - \frac{a^2}3 = \frac{a^2}6 \Rightarrow A'O = \frac{a\sqrt6}6$$
$$S_{\Delta{ABC}} = \frac{a^2\sqrt3}4$$
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
$$V_{ABC.A'B'C'} = A'O.S_{\Delta{ABC}} = \frac{a\sqrt6}{6}.\frac{a^2\sqrt3}4 = \frac{a^3\sqrt2}8 \ \ (dvtt)$$
*Tính khoảng cách giữa AA' và B'C:
Khoảng cách cần tìm chính là A'M
$$A'M^2 = x^2 - \frac{a^2}4 = \frac{a^2}{4} \Rightarrow A'M = \frac{a}2$$
Vậy $d(AA',B'C) = \frac{a}2$
Coi thử tính nhầm chỗ nào k
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn