Cho đường tròn (O; R) đường kính BC, A là điểm thay đổi trên đường tròn (O; R). Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Gọi (Q; r); (I; r1); (K; r2) là các đường tròn nội tiếp tam giác ABC, AHB, AHC. Đường thẳng KI cắt AB và AC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh rằng: Tam giác AMN vuông cân;
b) Tính r + r1 + r2 theo R trong trường hợp H là trung điểm của OB
c) Gọi E là giao điểm của AI và BC, F là giao điểm của AK và BC. Xác định vị trí của A để diện tích tam giác AEF đạt GTLN
doanhnhannguyenthinh@gmail.comLời giải của bạn hỏi, góp ý vào cho mọi người tham khảo
a) Gọi [imath]E, F[/imath] lần lượt là giao điểm của [imath]AI[/imath] và [imath]AK[/imath] với [imath]BC[/imath]
C.m được: [imath]\Delta BAF[/imath] cân tại [imath]B[/imath], có [imath]BQ[/imath] là phân giác
Suy ra: [imath]BQ[/imath] là đường cao. Hay [imath]IQ \perp AK[/imath]
Tương tự [imath]KQ \perp AI[/imath]
Từ đó, suy ra: Q là trực tâm [imath]\Delta AKI[/imath]
Suy ra: [imath]AQ \perp MN[/imath]
Mà [imath]AQ[/imath] là tia phân giác [imath]\widehat{MAN}[/imath]
Suy ra: [imath]\Delta MAN[/imath] vuông cân tại A
b) Sử dụng bổ đề: Trong tam giác vuông bán kính đường tròn nội tiếp bằng [imath]\dfrac{1}{2}[/imath] tổng hai cạnh góc vuông trừ cạnh huyền
[imath]r= \dfrac{AB + AC - BC}{2};r_1 = \dfrac{AH + HB - AB}{2}; r_2 = \dfrac{AH + HC - AC}{2}[/imath]
Suy ra: [imath]r + r_1 + r_2 = AH = \dfrac{\sqrt{3}R}{2}[/imath]
c) Theo chứng minh a) thì [imath]\Delta BAF[/imath] và [imath]\Delta CAE[/imath] lần lượt cân tại B và C
Suy ra: [imath]BA = BF, CA = CE[/imath]
[imath]\iff BA + CA = BF + CE = BC + EF \iff EF = BA + CA - 2R[/imath]
Ta có: [imath](AB + AC)^2 \le 2(AB^2 + AC^2) = 2BC^2 = 8R^2[/imath]
[imath]\to AB + AC \le 2.\sqrt{2}.R[/imath]
[imath]\to EF \le 2.(\sqrt{2} - 1).R[/imath]
Ta có: [imath]S_{AEF} = \dfrac{1}{2}.AH.EF \le \dfrac{1}{2}.R. 2.(\sqrt{2} - 1).R = (\sqrt{2} -1).R^2[/imath]
Dấu ''='' khi [imath]A[/imath] là điểm chính giữa cung
Xem thêm:
Trọn bộ kiến thức học tốt các môn
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
