[Hình học] Đường trong ngoại tiếp tam giác!

[lykkenaturligsen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
Cho $\triangle$ABC nội tiếp (O), phân giác $\hat{A}$ cắt (O) tại D. C/m: AD > $\frac{AB + AC}{2}$.
Bài 2:
Cho $\triangle$ABC, M di động trên AC. N di động trên tia đối của BA sao cho BN = CM. C/m: đường tròn ngoại tiếp $\triangle$AMN luôn đi qua 1 điểm cố định ( khác A).

 

[lykkenaturligsen]

Đã giải ra!

Bài 1:

Trên tia đối tia BA lấy điểm E sao cho BE = AC.
AD là tia phân giác $\hat{A}$.
\Rightarrow $\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$
\Rightarrow Sđ cung BD = Sđ cung CD.
\Rightarrow BD = CD.
Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.
\Rightarrow $\widehat{ACD} + \widehat{ABD} = 180^o$.
Mà: $\widehat{ABD} + \widehat{DBE} = 180^o$ (kề bù).
\Rightarrow$\widehat{ACD} = \widehat{DBE}$.
\Rightarrow $\triangle$EBD = $\triangle$ACD (c-g-c).
\Rightarrow DE = AD.
Áp dụng bđt trong $\triangle$ADE, ta có:
AD + DE > AE.
\Leftrightarrow 2AD > AB + AC.
\Leftrightarrow AD > $\dfrac{AB + AC}{2}$

 

[lykkenaturligsen]

Bài 2:

Tia phân giác $\widehat{BAC}$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\triangle$AND tại D.
Cần c/m: D thuộc đường tròn ngoại tiếp $\triangle$ABC (cố định).
AD là tia phân giác $\hat{A}$.
\Rightarrow $\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$.
\Rightarrow Sđ cung ND = Sđ cung MD \Rightarrow ND = MD.
Tứ giác AMDN là tứ giác nội tiếp.
\Rightarrow $\widehat{AND} + \widehat{AMD} = 180^o$.
Mà: $\widehat{AMD} + \widehat{DMC} = 180^o$ (kề bù).
\Rightarrow $\widehat{AND} = \widehat{DMC}$.
\Rightarrow $\triangle$BND = $\triangle$CMD (c-g-c).
\Rightarrow $\widehat{NBD} = \widehat{MCD}$.
Mà: $\widehat{NBD}$ kề bù $\widehat{ABD}$.
\Rightarrow $\widehat{MCD} + \widehat{ABD} = 180^o$.
\Rightarrow tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.
\Rightarrow D cố định.