[Hình học] Chứng minh BĐT

[thinhrost1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng:

min{AB,CD,DA,BC}\leq$\dfrac{\sqrt{AC^2+BD^2}}{2}$ \leq max{AB,BC,CD,DA}

 

[soicon_boy_9x]

Làm tạm vế sau đã

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Lấy M là trung điểm BD. Ta có:

$AM+CM \geq AC$

$\rightarrow $ trong 2 đoạn AM và MC luôn có 1 đoạn lớn hơn bằng $\dfrac{AC}{2}$

Giả sử $CM \geq \dfrac{AC}{2}$

Trong 2 góc $\widehat{BMC}$ và $\widehat{DMC}$ có 1 góc $\geq 90^o$

Giả sử $\widehat{BMC} \geq 90^o$

$\rightarrow BC \geq \sqrt{CM^2+BM^2} \geq \sqrt{\dfrac{AC^2}{4}+\dfrac{BD^2}
{4}}=\dfrac{\sqrt{AC^2+BD^2}}{2}(dpcm)$