Hình học câu khó

[hieu8x0o0]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O), có AB<AC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên đường kính AD.
Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN?

 

[1um1nhemtho1]

zzzzzzzzzz

Bạn tự vẽ hình nha:


dễ thấy $OI \perp BC$
\Rightarrow $OINC$ và $OIBM$ nội tiếp
\Rightarrow $\widehat{OMI}=\widehat{OBI}$ và $\widehat{ONI}=\widehat{OCI}$
mà $\widehat{OBI}=\widehat{OCI}$ (tam giác $BOC$ cân tại $O$)
\Rightarrow $\widehat{OMI}=\widehat{ONI}$ hay tam giác $MIN$ cân tại $I$ \Rightarrow $IM=IN$

ta cũng có $AHNC$ nội tiếp nên $\widehat{HNA}=\widehat{HCA}$
mà $\widehat{INO}=\widehat{ICO}$ \Rightarrow $\widehat{HNI}=\widehat{OCA}$
mà ta lại có $\widehat{OCA}=\widehat{OAC}=\widehat{NHI}$
\Rightarrow $\widehat{HNI}=\widehat{NHI}$ \Rightarrow tam giác $ HIM$ cân tại $I$ \Rightarrow $HI=IM$

\Rightarrow $IM=IN=IH$ nên $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HNM$