Đội 4
Gọi A', B',C', D' lần lượt là hình chiếu của A,B,C,D trên đường thẳng d.
Do [TEX]\hat{BAD} = 120^o[/TEX] nên các tam giác ABC,ADC là những tam giác đều.
Do AD//BC và AD=BC nên A'D' = B'C'
Tương tự, ta có A'B'=C'D'. Ta phải chứng minh biểu thức.
$T= A'B'^2 + B'C'^2 + C'D'^2 + D'A'^2 + 2A'C'^2$
không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d.
Dễ thấy $T=2(A'B'^2+B'C'^2+C'A'^2)$
Vẽ CF [TEX]\bot[/TEX] AA' ; BE [TEX]\bot [/TEX]AA', đường thẳng này cắt CC' tại I. Vẽ AH [TEX]\bot[/TEX] BC.
Gọi K là giao điểm của AA' với BC và gọi a là cạnh của hình thoi
Ta có [TEX]\Delta{AHK} \sim \Delta{CFK}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]CF = \frac{AH.CK}{AK}[/TEX]
Tương tự : [TEX]BE =\frac{AH.BK}{AK}; AI=\frac{AH.BC}{AK}[/TEX]
Ta có
$T=2(A'B'^2+B'C'^2+C'A'^2)=2(BE^2+BI^CF^2)$
$=\frac{2AH^2}{AK^2}(BK^2+BC^2+CK^2)$ (1)
Xét riêng $BK^2+BC^2+CK^2=(BH-HK)^2+BC^2+$
$(BH+KH)^2=2(BH^2+HK^2)+BC^2=2(BH^2+AK^2-AH^2)+BC^2$
$=2\frac{a^2}{4}+2AK^2-2(\frac{a\sqrt[]{3}}{2})^2+a^2=2AK^2$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra
[TEX]T = 4AH^2 =4(\frac{a\sqrt[]{3}}{2})^2=3a^2[/TEX] ( không phụ thuộc vào vị trí của d)
Lưu ý tí nè: nếu đường thẳng d cắt các cạnh của [TEX]\Delta{ABC}[/TEX] vẫn có kết quả trên
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn