Hình học 9

[vananhharixinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC ( B,C là hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn tâm O, tiếp tuyến qua M cắt AB, AC tại E và F. Đường thằng BC cắt OE và OF ở P và Q.
a/ Chứng minh: bốn điểm P,Q, F, E cùng thuộc một đường tròn
b/ Chứng minh: tỉ số [TEX]\frac{PQ}{EF}[/TEX] có giá trị không đổi khi M di động

 

[congchuaanhsang]

a, a, Ta có: $\hat{EBP}$=$\frac{1}{2}$ sđ cung BC (t/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

$\hat{BOE}$=$\hat{EOM}$ ; $\hat{MOF}$=$\hat{FOC}$(t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\Rightarrow$\hat{EOF}$=$\frac{1}{2}$$\hat{BOC}$ = $\frac{1}{2}$ sđ cung BC

\Rightarrow$\hat{EOF}$=$\hat{EBP}$ hay $\hat{POQ}$=$\hat{EBP}$

Hai tam giác BPE và OPQ đồng dạng (g.g)

\Rightarrow$\hat{PQO}$=$\hat{BEP}$

mà $\hat{BEP}$=$\hat{PEF}$ (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\Rightarrow$\hat{PQO}$=$\hat{PEF}$\RightarrowTứ giác PQFE nội tiếp.

 

[congchuaanhsang]

b, Kẻ OH vuông góc với BC

Hai tam giác OPQ và OFE đồng dạng (g.g)

\Rightarrow$\frac{PQ}{FE}$=$\frac{OH}{OM}$

Vì A cố định\RightarrowB,C cố định mà O cố định\RightarrowOH ko đổi

Mặt khác OM là bán kính đường tròn (O) \RightarrowOM ko đổi

\Rightarrow$\frac{OH}{OM}$ cố định

Vậy $\frac{PQ}{FE}$ ko đổi khi M di chuyển trên cung BC