hình học 9

[nddhung99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho (O;R) và A cố định ngoài (O) sao cho OA = 2R.Đường kính BC quay quanh O sao cho đường thẳng BC không qua A.Vẽ đường tròn qua A,B,C cắt đường thẳng OA tại điểm thứ 2 là I.AB,AC cắt (O) tại D và E.DE cắt OA tại K.Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE là O'.C/m khi BC quay quanh O thì O' thuộc 1 đường thẳng cố định.

 

[hoctoan_123]

Thế này ạ

Gọi I là trung điểm DE
Dễ thấy K cố định và I di chuyển trên đường tròn đường kính OK (cần cm lại nếu làm bài thi mình lười cm)
Trên OA, dựng điểm M sao cho OK.OM = OE^2 (1)

Ta có:
$\widehat{DOE} = 2\widehat{DCE} \\
\widehat{DO'E} = 2\widehat{DAE} \\
\Rightarrow \widehat{DOE}+\widehat{DO'E} = 2(\widehat{DCE}+\widehat{DAE}) = 180^o$
Suy ra ODO'E nội tiếp

Lại có
$\widehat{OEC} =\widehat{OCE} = \widehat{EDA} = \widehat{EDO'} + \widehat{O'DA} \\
\Rightarrow \widehat{OEC} + \widehat{O'EA} = \widehat{EDO'} + \widehat{O'DA} + \widehat{O'EA} = \dfrac{180^o}{2} = 90^o \\
\Rightarrow \widehat{OEO'} = 90^o$
Suy ra OO' cắt DE tại I và OO' vuông góc DE
Do đó: OI.OO' = OE^2 (2)

Từ (1),(2) ~~> OK.OM = OI.OO'
Mà O, K, M thẳng hàng và O, I, O' thẳng hàng
nên tam gác OIK đồng dạng với tam giác OMO'
Suy ra OMO' vuông tại M (do OIK vuông tại I)
Mà M, O cố định
nên O' di chuyển trên đường thẳng đi qua M và vuông góc với OA cố định (đpcm)